Intervalles de confiance lors de l'utilisation du théorème de Bayes

Je calcule des probabilités conditionnelles et des intervalles de confiance à 95% associés. Pour bon nombre de mes cas, j'ai un décompte simple des xsuccès des nessais (à partir d'un tableau de contingence), donc je peux utiliser un intervalle de confiance binomial, tel que celui fourni par binom.confint(x, n, method='exact')dans R.

Dans d'autres cas cependant, je n'ai pas de telles données, donc j'utilise le théorème de Bayes pour calculer à partir des informations que j'ai. Par exemple, compte tenu des événements et : $a$ $b$

P (a | b) = \frac{P (b | a) \cdot P (a)}{P (b)}

$P(a|b) = \frac{P(b|a) \cdot P(a)}{P(b)}$

Je peux calculer un intervalle de confiance de 95% autour de $P(b|a)$ utilisant $\textrm{binom.confint}(\#\left(b\cap{}a),\#(a)\right)$ , et je calcule le rapport $P(a)/P(b)$ comme leur rapport de fréquence $\#(a)/\#(b)$ . Est-il possible de dériver un intervalle de confiance autour de $P(a|b)$ utilisant ces informations?

Merci.

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— Ken Williams
source

a

$a$ et sont des événements. Dans mon cas, est une défaillance du système (ce qui est assez rare, donc relativement difficile à trouver "à l'état sauvage"), et est une alarme de pré-défaillance, donc je mesure la probabilité de défaillance en raison d'une alarme.

b

$b$

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Le commentaire ci-dessus était en réponse à quelqu'un qui a demandé plus d'informations sur ce qu'étaient et , mais semble avoir supprimé ce commentaire.

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Eh bien, vous ne pouvez pas simplement prendre l'intervalle de confiance pour p (b | a) et le mettre à l'échelle par p (a) / p (b) en raison de l'incertitude dans l'estimation de ce rapport. Si vous pouvez construire un intervalle de confiance de 100 (1-α)% pour p (a) / p (b), appelez-le [A, B], puis prenez la borne inférieure pour un intervalle de confiance de 100 (1-α)% pour p ( b | a) et multipliez-le par A et prenez la limite supérieure de p (b | a) et multipliez-la par B. Cela devrait donner à un intervalle qui a au moins un niveau de confiance de 100 (1-α) % pour p (a | b).

^{2}

$^2$

— Michael R. Chernick

Pourrait fonctionner ... obtenir un intervalle de confiance pour n'est pas évident pour moi cependant - avez-vous envie de le déplacer dans la zone "Réponse"? Je promets au moins un vote positif. =)

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

— Ken Williams

Ne voulez-vous pas plutôt un intervalle crédible bayésien ? Cela est directement calculable à partir de la distribution postérieure de .

a

$a$

— whuber

Eh bien, vous ne pouvez pas simplement prendre l'intervalle de confiance pour et le mettre à l'échelle par raison de l'incertitude dans l'estimation de ce rapport. Si vous pouvez construire un intervalle de confiance de pour , alors prenez la borne inférieure pour un intervalle de confiance de pour et le multiplier par et prendre la limite supérieure pour et le multiplier par . Cela devrait donner à un intervalle qui a au moins un niveau de confiance de pour . $p(b|a)$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $[A, B]$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $p(b|a)$ $A$ $p(b|a)$ $B$ $100(1-\alpha)^2\%$ $p(a|b)$

— Michael R. Chernick
source

Cela semble réalisable au moins comme un premier coup de couteau. Mais je ne connais pas de méthode pour dériver des intervalles de confiance pour le rapport de deux probabilités de Bernoulli compte tenu des dénombrements observés de et dans un échantillon de population.

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Il y a une prétendue méthode pour calculer un intervalle sur par Katz et al., 1978. Je ne peux pas trouver le papier original sans murs payants, mais cette citation semble montrer la méthode: jstor.org/ découvrir / 10.2307 / 2531405

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

— Ken Williams

Si je ne me suis pas trompé, voici une fonction pour faire cette estimation d'intervalle de ratio de Bernoullis:

binrat.confint <- function(x, y, n=Inf, m=n, p=0.95) {   s2 <- 1/x - 1/n + 1/y - 1/m;   x/y * exp(c(-1:1)*pnorm((1+p)/2)*sqrt(s2)) }

— Ken Williams