Le hasard nous achète-t-il quelque chose à l'intérieur de P?

Soit $\mathsf{BPTIME}(f(n))$ la classe des problèmes de décision ayant un algorithme aléatoire à erreur bilatérale borné fonctionnant dans le temps . $O(f(n))$

Connaît-on un problème tel que mais ? Sa non-existence est-elle prouvée? $Q \in \mathsf{P}$ $Q \in \mathsf{BPTIME}(n^k)$ $Q \not \in \mathsf{DTIME}(n^k)$

Cette question a été posée sur cs.SE ici , mais n'a pas obtenu de réponse satisfaisante.

— aelguindy
source

(1) BPP (f (n)) est généralement désigné comme BPTIME (f (n)). (2) Dans le cadre de la complexité informatique, je pense que cela est ouvert. (De nombreux exemples sont connus dans la complexité des requêtes et les paramètres de complexité de la communication.) (3) Si sa non-existence était déjà prouvée, alors nous saurions déjà que P = BPP.

— Tsuyoshi Ito

À propos, dans la question sur cs.stackexchange.com, vous avez un malentendu sur la relation entre BPTIME et ZPTIME, et cela pourrait être une des raisons pour lesquelles vous n'avez pas reçu de réponse satisfaisante.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto Merci, je ne suis pas d' accord que si nous prouvons alors nous savons que l' inexistence

, je suis restreignaient le réglage des problèmes dans

. Peut-être,

, tandis que

P = B P P

$P=BPP$

P

$P$

B P T I M E (n^{k}) \cap P = D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \cap P = DTIME(n^k)$

en général, est-ce que je manque quelque chose? Pourriez-vous également souligner mon malentendu à propos de

, peut-être ai-je manqué une réponse satisfaisante en effet ..

B P T I M E (n^{k}) \neq D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \neq DTIME(n^k)$

B P T I M E

$BPTIME$

Z P T I M E

$ZPTIME$

— aelguindy

Votre question ne dit pas que vous limitez le problème Q à l'intérieur de P. Si c'est votre intention, veuillez modifier la question.

— Tsuyoshi Ito

Pour approximer la médiane 1 d'un espace métrique fini avec peu de requêtes à la fonction de distance, un point aléatoire donne une approximation de 2 dans l'espérance et une approximation de (2 + eps) avec une bonne probabilité. Mais aucun algorithme déterministe qui interroge la fonction de distance

fois ne peut faire mieux qu'une approximation à 4. [ Chang 2013 ]

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Neal Young

Réponses:

Un autre exemple est l'estimation du volume d'un polyèdre en dimensions élevées. Il existe une limite inférieure inconditionnelle sur les stratégies déterministes pour approximer le volume à un facteur exponentiel, mais il y a un FPRAS pour le problème.

Mise à jour: l'article pertinent est (lien vers PDF ):

I. Barany et Z. Furedi. Le calcul du volume est difficile, Discrete and Computational Geometry 2 (1987), 319-326.

— Suresh Venkat
source

Pourriez-vous fournir une référence pour la borne inférieure inconditionnelle?

— T ....

référence ajoutée.

— Suresh Venkat

Problème : un tableau est composé de 1s et 0s. Trouvez un tel que soit 1. $A[1..2n]$ $n$ $n$ $i$ $A[i]$

Vous êtes autorisé à demander «Quel numéro est présent dans »? Chaque requête prend un temps constant. $A[i]$

Solution : Algorithme aléatoire: choisissez un indice aléatoire et vérifiez si est 1. Le nombre attendu de requêtes est 2, mais tout algorithme déterministe doit effectuer au moins requêtes. Par conséquent, la borne supérieure randomisée est strictement meilleure que la borne inférieure déterministe dans ce modèle. $i$ $A[i]$ $n$

Ceci est un exemple de la complexité des requêtes auquel Tsuyoshi faisait référence dans le commentaire.

— Jagadish
source

Tout algorithme déterministe doit effectuer au moins

requêtes dans le pire des cas .

n

$n$

— argentpepper

Qu'entendez-vous par «actuellement, nous ne connaissons aucune preuve de limite inférieure non triviale pour un problème dans NP (sans parler de P)»?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

J'ai peut-être utilisé le mot «non trivial» avec négligence. Je voulais dire "Actuellement, nous ne pouvons pas prouver une borne inférieure inconditionnelle de

pour

pour SAT ou tout problème dans NP". Est-ce exact?

Ω (n^{k})

$\Omega(n^k)$

k > 0

$k>0$

— Jagadish

Eh bien, peut-être pas pour de "beaux" problèmes tels que SAT; mais rappelez-vous que nous avons de telles limites inférieures pour d'autres problèmes des théorèmes de la hiérarchie temporelle. Et la question ne concerne pas les "bons" problèmes, mais les classes de complexité.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Ah, c'est vrai. J'ai supposé qu'OP s'intéressait aux problèmes naturels. J'ai édité ma réponse.

— Jagadish

Étant donné une matrice de gains pour une matrice à somme nulle avec des gains dans [0,1], estimer la valeur du jeu au sein d'un additif . $n\times n$ $\epsilon$

Ce problème a un algorithme randomisé qui s'exécute dans le temps , auquel (vraisemblablement) aucun algorithme déterministe ne peut correspondre [ GK95 ]. $O(n\log^2(n)/\epsilon^2)$

Voir aussi Algorithmes randomisés efficaces et simples où le déterminisme est difficile .

— Neal Young
source