Équivalence des spécifications d'effets aléatoires (0 + facteur | groupe) et (1 | groupe) + (1 | groupe: facteur) en cas de symétrie composée

Douglas Bates déclare que les modèles suivants sont équivalents «si la matrice de variance-covariance pour les effets aléatoires à valeur vectorielle a une forme spéciale, appelée symétrie composée» ( diapositive 91 dans cette présentation ):

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

Plus précisément, Bates utilise cet exemple:

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

avec les sorties correspondantes:

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

Quelqu'un peut-il expliquer la différence entre les modèles et comment se m1réduit à m2(étant donné la symétrie composée) de manière intuitive?

Dans cet exemple, il y a trois observations pour chaque combinaison des trois machines (A, B, C) et des six travailleurs. Je vais utiliser pour désigner une matrice d'identité à n dimensions et 1 n pour désigner un vecteur à n dimensions. Disons que y est le vecteur des observations, que je supposerai ordonné par travailleur puis machine puis répliqué. Soit μ les valeurs attendues correspondantes (par exemple les effets fixes), et soit γ un vecteur d'écarts spécifiques au groupe par rapport aux valeurs attendues (par exemple les effets aléatoires). Conditionnellement à γ , le modèle de y peut s'écrire:$I_n$$n$$1_n$$n$$y$$\mu$$\gamma$$\gamma$$y$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$$

où est la variance "résiduelle".$\sigma^2_y$

Pour comprendre comment la structure de covariance des effets aléatoires induit une structure de covariance parmi les observations, il est plus intuitif de travailler avec la représentation «marginale» équivalente , qui s'intègre aux effets aléatoires . La forme marginale de ce modèle est,$\gamma$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$$

Ici, est une matrice de covariance qui dépend de la structure de γ (par exemple les "composantes de variance" sous-jacentes aux effets aléatoires). J'appellerai Σ la covariance "marginale".$\Sigma$$\gamma$$\Sigma$

Dans votre m1, les effets aléatoires se décomposent comme:

$$\gamma = Z \theta$$

Où est une matrice de conception qui mappe les coefficients aléatoires sur les observations, et θ T = [ θ 1 , A , θ 1 , B , θ 1 , C … θ 6 , A , θ 6 , B , θ 6 , C ] est le vecteur à 18 dimensions de coefficients aléatoires ordonné par le travailleur puis la machine, et est distribué comme:$Z = I_{18} \otimes 1_3$$\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

$$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$$

Ici est la covariance des coefficients aléatoires. L'hypothèse de symétrie composée signifie que Λ a deux paramètres, que j'appellerai σ θ et τ , et la structure:$\Lambda$$\Lambda$$\sigma_\theta$$\tau$

$$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$$

(En d'autres termes, la matrice de corrélation sous-jacente à a tous les éléments de l'offdiagonal réglés sur la même valeur.)$\Lambda$

La structure de covariance marginale induite par ces effets aléatoires est , de sorte que la variance d'une observation donnée est σ 2 θ + τ 2 + σ 2 y et la covariance entre deux observations (distinctes) des travailleurs i , j et des machines u , v est: c o v ( y i , u , y j , v ) $\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$$\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$$

Pour vous m2, les effets aléatoires se décomposent en:

$$\gamma = Z \omega + X \eta$$

$X = I_6 \otimes 1_9$$\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$$\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

$$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$$ $$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$$ $\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

m2$\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$$\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$$

$\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$$\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$ m1

La brièveté n'est pas mon point fort: tout cela n'est qu'une façon longue et compliquée de dire que chaque modèle a deux paramètres de variance pour les effets aléatoires, et ne sont que deux façons différentes d'écrire le même modèle "marginal".

Dans du code ...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2