-norm préservant les machines de Turing

En lisant quelques discussions récentes sur l'informatique quantique ( ici , ici et ici ), je me souviens d'une question intéressante sur la puissance d'une sorte de machine de conservation de -norm.$\ell_p$

Pour les personnes travaillant dans la théorie de la complexité allant vers la complexité quantique, un excellent texte d'introduction est l'article de Fortnow dont le lien a été publié par Joshua Grochow ici . Dans cet article, la machine de Turing quantique est présentée comme une machine de Turing probabiliste généralisée. Fondamentalement, les machines probabilistes ont un état normalisé sous la -norm, c'est-à-dire . L'évolution temporelle de la machine est donnée par l'application d'une matrice stochastique telle que , c'est-à-dire que conserve la -norm. Donc l'état au temps estℓ 1 ∥ s ∥ 1 = $s$$\ell_1$$\parallel s\parallel_1=1$∥ P s ∥ 1 = 1 P ℓ 1 t P t$P$$\parallel Ps\parallel_1=1$$P$$\ell_1$$t$$P^ts$(la notation peut ne pas être précise car la multiplication gauche ou droite de dépend si est un vecteur ligne ou colonne ou si les lignes ou colonnes de sont les sous-espaces préservant la norme). Donc, dans ce sens, la machine probabiliste de Turing est une machine de conservation de la norme notée .s P ℓ 1 M ℓ $P$$s$$P$$\ell_1$$M^{\ell_1}$

Une machine de Turing quantique peut alors être considérée comme ayant un état avec et une matrice unitaire (qui préserve les normales) de telle sorte que est l'état à l'instant où . Il s'agit d'une machine de conservation de -norm notée .∥ s ∥ 2 = $s$$\parallel s\parallel_2=1$ℓ 2 P t s t ∥ P t s ∥ 2 = 1 ℓ 2 M ℓ $P$$\ell_2$$P^ts$$t$$\parallel P^ts\parallel_2=1$$\ell_2$$M^{\ell_2}$

Soit en général une machine de conservation de -norm notée .M ℓ $\ell_p$$M^{\ell_p}$

Mes questions sont donc:

(1) Quelle est la puissance des machines de conservation -norm pour fini ? Plus formellement, pouvons-nous prouver que pour tout et , si alors il existe un langage et une machine tels que décide efficacement et il n'y a pas de machine qui décide efficacement . Par exemple, cela pourrait être une généralisation de la question, est ?.$\ell_p$$p$$p$$q$$q>p$$L$$M^{\ell_q}$$M^{\ell_q}$$L$$M^{\ell_p}$$L$$NP \subseteq BQP$

(2) Qu'en est-il de ? Ici, la valeur maximale des composantes du vecteur d'état est 1.$p=\infty$

(3) Ces questions vont au-delà de l'unité et ne devraient donc pas être en accord avec la mécanique quantique. En général, que se passe-t-il avec le calcul si vous assouplissez la restriction d'unité sur les opérations? Il existe des travaux sur l'autorisation des opérateurs non linéaires (voir Aaronson 2005 ).

(4) Peut-être le plus important, est-il universel? Je pense que c'est clair, car pour des cas particuliers c'est universel. Mais que se passe-t-il avec l'universalité lorsque ?$p=\infty$

Ce n'est pas une réponse complète aux questions, mais il est trop long pour écrire un commentaire. Il élargit mon commentaire précédent.

La question «Qu'arrive-t-il au calcul si les axiomes de la mécanique quantique sont légèrement modifiés?» Est abordée en détail dans un article amusant [Aar04] de Scott Aaronson. Je crois que vos questions trouvent essentiellement leur réponse dans la première moitié de la section 2 de [Aar04].

Aaronson montre que si p> 0 et p ≠ 2, alors une matrice qui préserve la norme p pour tous les vecteurs est nécessairement une matrice de permutation généralisée (un produit d'une matrice de permutation et d'une matrice diagonale). Il déclare qu'il en va de même dans le cas p = ∞. Tout cela vaut pour plus de over et plus de ℂ. Notez que cela inclut le cas de p = 1: les matrices stochastiques préservent la norme 1 pour les vecteurs non négatifs mais pas pour tous les vecteurs en général.

Je suppose qu'une machine de Turing probabiliste généralisée comme dans [For00] a une matrice de permutation généralisée comme matrice de transition globale uniquement s'il s'agit d'une machine de Turing déterministe, mais je n'ai pas de preuve à portée de main.

Aaronson discute également de plusieurs autres modifications des axiomes de la mécanique quantique dans l'article. Par exemple, si nous modifions la règle de mesure (au lieu de l'ensemble des portes autorisées) pour que le résultat x se produise avec la probabilité | α _x | ^p / ∑ _y | α _y | ^p , où α _y est l'amplitude de | y⟩, alors cet «ordinateur quantique» peut résoudre tous les problèmes de PP (y compris les problèmes NP-complets) en temps polynomial à moins que p = 2 (proposition 5).

Les références

[Aar04] Scott Aaronson. La mécanique quantique est-elle une île dans l'espace théorique? Dans les actes de la conférence de Växjö «Théorie quantique: reconsidération des fondations», 2004. arXiv: quant-ph / 0401062 v2.

[For00] Lance Fortnow. Vue d'un théoricien de la complexité de l'informatique quantique. In Computing: the Australasian Theory Symposium (CATS 2000), pp. 58–72, janvier 2000. http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

$p \not\in \{1,2\}$$\ell_p$$\left| \psi_i \right|^p$

$\ell_p$$\ell_1$$\ell_2$$\Omega(N^{1/p})$$\ell_\infty$$\ell_p$$\ell_q$$1/p+1/q=1$$\ell_p$$p$