Apprentissage Quantum PAC

Contexte

Les fonctions dans sont PAC apprenables en temps quasi-polynomial avec un algorithme classique qui nécessite des requêtes choisies au hasard pour apprendre un circuit de profondeur d [1]. S'il n'y a pas d' algorithme de factorisation alors c'est optimal [2]. Bien sûr, sur un ordinateur quantique, nous savons comment factoriser, donc cette borne inférieure n'aide pas. De plus, l'algorithme classique optimal utilise le spectre de Fourier de la fonction criant ainsi "quantifie-moi!"$AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] N. Linial, Y. Mansour et N. Nisan. [1993] "Circuits à profondeur constante, transformée de Fourier et capacité d'apprentissage", Journal of the ACM 40 (3): 607-620.

[2] M. Kharitonov. [1993] "Dureté cryptographique de l'apprentissage spécifique à la distribution", Actes de l'ACM STOC'93, pp. 372-381.

En fait, il y a 6 ans, Scott Aaronson a présenté l'apprentissage de comme l'un de ses dix demi-grands défis pour la théorie de l'informatique quantique .$AC^0$

Question

Ma question est triple:

1) Existe-t-il des exemples de familles de fonctions naturelles que les ordinateurs quantiques peuvent apprendre plus rapidement que les ordinateurs classiques compte tenu des hypothèses cryptographiques?

2) Y a-t-il eu des progrès dans l'apprentissage de en particulier? (ou le légèrement plus ambitieux )$AC^0$$TC^0$

3) En ce qui concerne la capacité d'apprentissage de , Aaronson commente: "alors les ordinateurs quantiques auraient un énorme avantage par rapport aux ordinateurs classiques pour l'apprentissage de poids proches des valeurs optimales pour les réseaux de neurones." Quelqu'un peut-il fournir une référence sur la relation entre la mise à jour du poids pour les réseaux de neurones et les circuits ? (à part le fait que les portes de seuil ressemblent à des neurones sigmoïdes)$TC^0$$TC^0$ (Cette question a déjà été posée et a déjà reçu une réponse )

Je vais tenter ma première question:

Existe-t-il des exemples de familles de fonctions naturelles que les ordinateurs quantiques peuvent apprendre plus rapidement que les ordinateurs classiques compte tenu des hypothèses cryptographiques?

Eh bien, cela dépend du modèle exact et de la ressource minimisée. Une option consiste à comparer la complexité de l'échantillon (pour l'apprentissage PAC indépendant de la distribution) du modèle classique standard avec un modèle quantique qui reçoit des échantillons quantiques (c'est-à-dire qu'au lieu de recevoir une entrée aléatoire et la valeur de fonction correspondante, l'algorithme est fourni avec une superposition quantique sur les entrées et leurs valeurs de fonctions). Dans ce contexte, l'apprentissage PAC quantique et l'apprentissage PAC classique sont fondamentalement équivalents. La limite supérieure classique de la complexité de l'échantillon et la limite inférieure quantique de la complexité de l'échantillon sont presque les mêmes, comme le montre la séquence d'articles suivante:

[1] R. Servedio et S. Gortler, «Équivalences et séparations entre l'apprentissage quantique et classique», SIAM Journal on Computing, vol. 02138, p. 1–26, 2004.

[2] A. Atici et R. Servedio, «Des limites améliorées sur les algorithmes d'apprentissage quantique», Quantum Information Processing, pp. 1–18, 2005.

[3] C. Zhang, «Une borne inférieure améliorée sur la complexité des requêtes pour l'apprentissage quantique PAC», Information Processing Letters, vol. 111, non. 1, p. 40–45, déc. 2010.

Passant à la complexité temporelle, en utilisant le même modèle de PAC quantique, Bshouty et Jackson ont montré que les DNF peuvent être des PAC quantiques appris en temps polynomial sur la distribution uniforme [4], encore améliorés en [5]. L'algorithme classique le plus connu pour cela s'exécute en temps . Atici et Servedio [6] montrent également de meilleurs résultats pour l'apprentissage et le test des juntas.$O(n^{\log n})$

[4] N. Bshouty et J. Jackson, «Learning DNF over the uniform distribution using a quantum example oracle», SIAM Journal on Computing, vol. 28, non. 3, p. 1136–1153, 1998.

[5] J. Jackson, C. Tamon et T. Yamakami, «Quantum DNF learnability revisited», Computing and Combinatorics, pp. 595–604, 2002.

[6] A. Atıcı et R. Servedio, «Algorithmes quantiques pour l'apprentissage et le test des juntes», Quantum Information Processing, vol. 6, non. 5, p. 323–348, sept. 2007.

D'autre part, si vous êtes intéressé par le modèle PAC classique standard uniquement, en utilisant l'informatique quantique comme un outil de post-traitement (c'est-à-dire, aucun échantillon quantique), Servedio et Gortler [1] ont observé qu'il existe une classe de concept due à Kearns et Valiant qui ne peuvent pas être classiquement PAC appris en supposant la dureté de la factorisation des entiers Blum, mais qui peuvent être quantiquement PAC appris en utilisant l'algorithme de Shor.

La situation du modèle d'Angluin d'apprentissage exact par le biais de requêtes d'adhésion est quelque peu similaire. Les requêtes quantiques ne peuvent donner qu'une accélération polynomiale en termes de complexité de requête. Cependant, il existe une accélération exponentielle de la complexité temporelle en supposant l'existence de fonctions unidirectionnelles [1].

Je n'ai aucune idée de la deuxième question. Je serais ravi d'en savoir plus à ce sujet également.

Ce n'est certainement pas une réponse complète à votre question, mais j'espère que cela aidera avec la première partie. Il semble y avoir eu beaucoup d'intérêt à utiliser des algorithmes quantiques pour identifier des oracles inconnus. Un exemple de ceci est un article récent de Floess, Andersson et Hillery ( arXiv: 1006.1423 ) qui adapte l'algorithme de Bernstein-Vazirani pour identifier les fonctions booléennes qui ne dépendent que d'un petit sous-ensemble des variables d'entrée (juntas). Ils utilisent cette approche pour déterminer la fonction oracle pour les polynômes de bas degré (ils traitent explicitement des cas linéaires, quadratiques et cubiques).