Je passe en revue les notes de cours sur CIS 500: Fondations logicielles et les exercices sont très amusants. Je n’en suis qu’au troisième exercice, mais j’aimerais en savoir plus sur ce qui se passe lorsque j’utilise des tactiques pour prouver des choses comme:forall (n m : nat), n + n = m + m -> n = m.
Réponses:
Le manuel de référence du Coq ( pdf ) constitue un bon point de départ. Le chapitre 4 décrit la logique sous-jacente de Coq et, finalement, tout est basé sur celle-ci. C'est ce qu'on appelle le calcul des constructions (co) inductives, et de nombreux articles le décrivent. Mettre la main sur le livre de Coq'Art Le test de théorème interactif et le développement de programmes fournit une introduction plus tranquille mais pas moins chère à Coq.
Pour en savoir plus sur le fonctionnement des tactiques, jetez un œil à la question précédente: comment les «tactiques» fonctionnent-elles dans les assistants de preuve?
Pour construire la théorie requise, vous devez vous familiariser avec la théorie des types . Le plus étroitement lié à la théorie sous-jacente à un assistant de preuve est probablement les notes (ou livre ) sur la théorie des types d'Intuitionnisme de Per Martin-Löf ou le livre Programmation dans la Théorie des types de Martin-Löf , qui concerne en réalité l'écriture et la démonstration de théorèmes dans la théorie des types. Une perspective du langage de programmation sur la théorie des types peut être obtenue à partir des types et langages de programmation de Pierce . Les preuves et types de Girard et al , qui aborde également l’importance de la correspondance Curry-Howard , constituent une autre excellente référence. Alors vous êtes probablement bel et bien prêt à lire celui de Coquand et HuetLe calcul des constructions . Enfin, cherchez quelques-unes des références à la fin du manuel Coq.
Il existe d'autres assistants de preuve , HOL, NuPRL, Mizar, Twelf, etc., et ils ont également leur théorie. Vous pouvez donc en apprendre beaucoup également en lisant dans ce sens.
Enfin, pour un aperçu de l’histoire et de l’avenir des assistants de preuve, consultez le récent article de Herman Geuvers.
En ce qui concerne le calcul lambda typé, la logique intuitionniste, divers systèmes de preuves et l'isomorphisme de Curry-Howard, qui font tous partie du contexte mathématique de Coq, je recommande fortement "Conférences sur l'isomorphisme de Curry-Howard" (de P. Urzyczyn et M. Sørensen).
Le livre de Luo sur le calcul étendu des constructions est également une bonne référence. ECC a eu une influence considérable sur la conception de la théorie des types de Coq.
Le livre Software Foundations actuel explique tout cela plus tard: https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/lf-current/ProofObjects.html
Donc, si vous suivez le livre, lisez ce qui suit :)
Show Treeen coq.