Trouver efficacement un cycle à 5 cycles dans un graphique clairsemé.

(transféré de MathOverflow)

Salut,

Je lisais ce fil: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

Je veux trouver un cycle 5 sur un graphique. En fait, ce que je veux vraiment, c'est un cycle impair le plus court d'une longueur d'au moins 5, mais c'est peut-être un peu à côté du point. Pour mes besoins, je traite et la même façon dans l'analyse de complexité. $m$ $n$

Pouvons-nous faire mieux que le codage couleur pour trouver un cycle à 5 dans ce cas? Permettez-moi de donner une formulation spécifique de ma question:

Quel est le minimum tel qu'il existe un algorithme de temps pour détecter un cycle de longueur 5? Quel est l'algorithme? Et qu'est-ce que c'est si vous interdisez les méthodes peu pratiques comme la multiplication matricielle rapide Coppersmith-Winograd? $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— Andrew D. King
source

Crosspost de MO.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Vos graphiques ont-ils une structure spéciale, autre que clairsemée? (Par exemple, une faible dégénérescence.)

— Robin Kothari

Non, vous pouvez rendre le graphique aussi diabolique que vous le souhaitez. En fait, je ne me soucie même pas si le graphique est clairsemé: je considère un graphique linéaire et son graphique sous-jacent tels que (nous pouvons supposer que est simple). La raison pour laquelle je traiteetc'est la même chose que je connaiset je veux analyser la complexité en termes deet, mais je ne peux rien dire sur la façon dontse compare à.

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— Andrew D. King

Pour être clair, cela ne vous dérange pas si le cycle contient des sommets répétés, n'est-ce pas?

— user834

Je n'autorise pas les sommets répétés, mais pour un cycle de 5, cela n'a pas d'importance parce que je suppose que le graphique est simple et n'a donc pas de 2 cycles.

— Andrew

Réponses:

Pour ajouter à la réponse de Mihai:

En effet, 5-cycle (et en général cycle) dans les graphiques clairsemés peut être résolu beaucoup plus rapidement que le temps utilisant l'astuce de haut degré / bas degré. Il suffit de regarder un autre papier d'Alon, Yuster et Zwick: $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

Par exemple, un cycle à 5 peut être trouvé en temps , sans aucune dépendance à la multiplication matricielle. Voir le théorème 3.4 de l'article lié ci-dessus. $O(m^{1.67})$

De plus, bien qu'il ne soit pas trop difficile de réduire la détection à 5 cycles à la multiplication matricielle booléenne (avec un facteur de surcharge constant), une réduction dans la direction opposée n'apparaît pas dans le papier de codage couleur. Une réduction serrée (qui préserve la complexité d'exécution) de la multiplication de la matrice booléenne à la détection à 5 cycles n'est pas connue.

— Ryan Williams
source

Le cas dense est essentiellement équivalent à la multiplication de la matrice booléenne par codage couleur. Voir http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf .

$O(mn)$

— Mihai
source

Merci! Je vais jeter un œil au journal Monien quand j'y aurai accès.

— Andrew