Problème de spectres de graphes inversés?

Habituellement, on construit un graphe et pose ensuite des questions sur la décomposition des valeurs propres de la matrice d'adjacence (ou d'un parent proche comme le laplacien ) (également appelée spectre d'un graphe ).

Mais qu'en est-il du problème inverse? Étant donné valeurs propres, peut-on (efficacement) trouver un graphique qui a ce spectre? $n$

Je soupçonne qu'en général c'est difficile à faire (et pourrait être équivalent à GI) mais que se passe-t-il si vous assouplissez un peu certaines conditions? Et si vous posez des conditions pour qu'il n'y ait pas de multiplicité de valeurs propres? Qu'en est-il de permettre des graphiques qui ont des spectres "proches" par une métrique de distance?

Toute référence ou idée serait la bienvenue.

MODIFIER :

Comme le souligne Suresh, si vous autorisez les graphiques pondérés non orientés avec des boucles auto, ce problème devient assez trivial. J'espérais obtenir des réponses sur l'ensemble des graphiques simples non dirigés et non pondérés, mais je serais également satisfait des simples graphiques dirigés non pondérés.

— user834
source

Je pense que vous pourriez avoir besoin de modifier la question en «graphiques non orientés non pondérés sans boucles auto» ou quelque chose comme ça? Je peux imaginer construire une matrice diagonale avec les valeurs propres requises et déclarer que c'est un graphe déconnecté avec des selfloops pondérés?

— Suresh Venkat

Une question encore plus simple (je ne connais pas la réponse) est de savoir comment construire des graphiques connectés simples dont les premières valeurs propres sont données

— Yaroslav Bulatov

Une autre façon de poser la question (la version avec des graphiques simples non orientés) est la suivante: étant donné n nombres réels (dans un certain format), décidez s'il existe une matrice n × n symétrique 0/1 avec zéro diagonale de telle sorte que ses n valeurs propres soient les des nombres donnés.

— Tsuyoshi Ito

@Yaroslav: Je ne suis pas sûr, mais ce problème me semble plus difficile que le cas où toutes les n valeurs propres sont données.

— Tsuyoshi Ito

Petite observation: si nous n'avons pas de restrictions sur les valeurs propres, le problème est vraiment difficile (même sans inclure la partie algorithmique) car cela impliquera l'existence (non) du graphe de Moore à 57 réguliers , dont les valeurs propres sont toutes connues.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Réponses:

Cvetcovic et tous dans la section 3.3 de "Résultats récents dans la théorie des spectres de graphes" passe en revue les algorithmes de construction de graphes à spectre donné dans certains cas particuliers

— Yaroslav Bulatov
source

Même demander s'il existe un graphique avec un spectre donné est une question difficile. En témoigne le problème ouvert de déterminer s'il existe un graphe de circonférence 5 de diamètre 2 et d'ordre 3250 dont le spectre (s'il existe) est connu.

— Jernej
source

Un autre obstacle à la définition de votre question est que les graphiques sont isospectraux (mêmes valeurs propres) mais non isomorphes. Donc, étant donné une liste de valeurs propres dans un tel cas, quel graphique voulez-vous? Peut-être que vous voulez juste qu'un algorithme retourne un élément aléatoire de l'ensemble de ces graphes non isomorphes?

— dabacon
source

Je pensais à quelque chose dans le sens de l'échantillonnage à partir de l'espace des graphiques qui sont isospectraux, mais cela semble que nous descendons rapidement dans un problème équivalent GI (donc mon commentaire ci-dessus). Pour simplifier, nous pourrions nous limiter à toutes les valeurs propres distinctes (ce qui, si IIC garantit un graphique unique), mais j'essaie vraiment de voir ce qui est connu ou là-bas.

— user834

Je ne pense pas que des valeurs propres distinctes garantissent la reconstructibilité, voici quelques spectres de graphes isospectraux sur 7 nœuds yaroslavvb.com/upload/save/cstheory-isospectral.png

— Yaroslav Bulatov

J'aime la formulation des éléments aléatoires. Je serais intéressé de savoir si c'est équivalent à GI. L'une des raisons pour lesquelles je m'intéresse à la formulation d'éléments aléatoires est la question, soulevée dans mon article avec Arora et Steurer sur les jeux uniques, de savoir si des graphiques avec un certain spectre peuvent être des expanseurs pour de petits ensembles. Intuitivement, on peut espérer qu'un graphique aléatoire avec ce spectre sera le meilleur extenseur possible pour toutes les tailles définies, et donc un aperçu des spectres inverses peut être utile là-bas.

— Boaz Barak

@Yaroslav: Merci pour ce lien et merci de me corriger!

— user834

@ user834: Re: votre commentaire sur un problème équivalent GI. Notez que la détermination de l'isomorphisme des graphiques avec une multiplicité de valeurs propres bornée (en particulier, les graphiques sans plusieurs valeurs propres) peut être effectuée en temps polynomial.

— Joshua Grochow