Razborov a prouvé que la correspondance de fonction monotone n'est pas en mP . Mais peut-on calculer l'appariement en utilisant un circuit de taille polynomiale avec quelques négations? Existe-t-il un circuit P / poly avec des négations qui calcule la correspondance? Quel est le compromis entre le nombre de négations et la taille pour l'appariement?$O(n^\epsilon)$

Markov a prouvé que toute fonction de $n$ entrées peut être calculée avec seulement $\lceil \log (n+1)\rceil$ négations. Fisher a décrit une version constructive efficace. Voir aussi une exposition du résultat du blog GLL .

Plus précisément:

Théorème: Supposons que est calculé par un circuit C avec g portes, puis il est également calculé par un circuit C ∗ avec 2 g + O ( n 2 log 2 n ) portes et ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ négations.$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

L'idée principale est d'ajouter pour chaque fil en C un fil parallèle w ′ en C ∗ qui porte toujours le complément de w . Le cas de base est pour les fils d'entrée: Fisher décrit comment construire un circuit d'inversion I ( x ) = ¯ x avec O ( n 2 log 2 n ) portes et seulement ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ négations. Pour les portes ET du circuit C , on peut augmenter $w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$ avec a ′ = b ′ ∨ c ′ , et de même pour les portes OU. Les portes NOT en C ne coûtent rien, nous échangeons simplement les rôles de w et w ′ en aval de la porte NOT. De cette façon, l'ensemble du circuit en plus du sous-circuit de l'onduleur est monotone.$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

AA Markov. Sur la complexité d'inversion d'un système de fonctions. J. ACM , 5 (4): 331–334, 1958.

MJ Fischer. La complexité des réseaux limités par la négation - Un bref aperçu. Dans la théorie des automates et les langages formels , 71–82, 1975

Comment calculer l'inversion de bits en utilisant n négations$2^n-1$$n$

Soit les bits triés dans l'ordre décroissant, c'est-à-dire que i < j implique x i ≥ x j . Ceci peut être réalisé par un réseau de tri monotone comme le réseau de tri Ajtai – Komlós – Szemerédi.$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

Nous définissons le circuit d'inversion pour bits I n ( → x ) inductivement: Pour le cas de base, nous avons n = 1 et I 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 . Soit m = 2 n - 1 . On réduit I n (pour 2 m + 1 ) bits à une porte I n - 1 (pour $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$bits) et une porte de négation utilisant les portes et ∨ . Nous utilisons la négation pour calculer ¬ x m . Pour i < m soit y i : = ( x i ∧ ¬ x m ) ∨ x m + i . Nous utilisons I n - 1 pour inverser → y . Maintenant, nous pouvons définir I n comme suit:$\land$$\lor$$\lnot x_m$$i<m$$y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$$I^{n-1}$$\vec{y}$$I^n$

$\vec{x}$$x_n$$\vec{x}$

De Michael J. Fischer, La complexité des réseaux à négation limitée - une brève enquête, 1975.