Articles à créditer pour le partitionnement spectral des graphes

Si est un graphe irrégulier d non orienté et S est un sous-ensemble des sommets de cardinalité ≤ | V | / 2 , appelez l' expansion de bord de S la quantité$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

Où est le nombre d'arêtes avec une extrémité dans A et un point d' extrémité dans B . Ensuite, le problème d' expansion Edge est de trouver un ensemble S avec | S | ≤ | V | / 2 qui minimise ϕ ( S ) . Appelons ϕ ( G ) l'expansion d'un ensemble optimal.$Edges(A,B)$$A$$B$$S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

L' algorithme de partitionnement spectral pour le problème d'expansion de bord fonctionne en trouvant un vecteur propre de la deuxième plus grande valeur propre de A , la matrice d'adjacence de G , puis en considérant tous les `` ensembles de seuils '' S de la forme { v : x ( v ) ≤ t } sur tous les seuils t . Si nous laissons λ 2 la deuxième valeur propre la plus grande de la matrice $x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$, alors l'analyse de l'algorithme de partitionnement spectral montre que le meilleur ensemble de seuilsSSPtrouvé par l'algorithme satisfait$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

Qui découle des inégalités de Cheeger

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

et

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

Quel est le premier papier à faire une telle réclamation? Quels articles doivent créditer les idées? Voici ce que j'ai:

• N. Alon et VD Milman. , inégalités isopérimétriques pour les graphiques et les superconcentrateurs, Journal of Combinatorial Theory, série B, 1985, 38 (1): 73-88 $\lambda_1$

  Démontrer un résultat dans l'esprit de l'inégalité de Cheeger "simple" , mais pour l'expansion des sommets au lieu de l'expansion des bords. Reconnaître que la relation entre l'expansion des bords et les valeurs propres est la version discrète d'un problème étudié par Cheeger dans $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  J. Cheeger. Une borne inférieure pour la plus petite valeur propre du Laplacien. Problèmes d'analyse, 1970.

• N. Alon. Valeurs propres et expandeurs. Combinatorica. 6 (2): 83-96, 1986.

  $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• A. Sinclair, M. Jerrum. Comptage approximatif, génération uniforme et mélange rapide des chaînes de Markov. Information et calcul 82: 93-133, 1989 (version de conférence 1987)

  Prouvez les inégalités de Cheeger comme indiqué ci-dessus. (Leur article étudie la conductance des chaînes de Markov réversibles dans le temps, ce qui équivaut à une expansion des bords égale dans les graphiques réguliers.) Ils attribuent le travail d'Alon et Milman et d'Alon pour les techniques. Ils attribuent également à Aldous une limite connexe entre le temps de mélange et l'expansion des bords dans les graphiques réguliers.

• M Mihail. Conductance et convergence des chaînes de Markov - un traitement combinatoire des expanseurs. FOCS 1989, pages 526-531

  $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

Y a-t-il d'autres papiers qui devraient être crédités en termes de techniques de preuve?

Quand la signification algorithmique des résultats ci-dessus, en tant qu'algorithmes de partitionnement de graphes, est-elle reconnue pour la première fois? Les documents ci-dessus n'ont pas une telle discussion.

$\lambda_2$$\lambda_2$

Fait intéressant, il y a une remarque à la fin de l'article de Fiedler, soulignant un rapport technique indépendant d'Anderson et Morley intitulé Eigenvalues ​​of the Laplacian on a Graph de 1971, qui avait apparemment des idées similaires. Cependant, c'est l'article d'Anderson et Morley avec le même titre qui n'est apparu dans l'Algèbre linéaire et multilinéaire qu'en 1985.

Quelques références supplémentaires dont je me souviens de cette époque:

1) Diaconis et Stroock, Limites géométriques pour les valeurs propres des chaînes de Markov, The Annals of Applied Probability, 1991; mais je me souviens avoir mis la main sur une préimpression en 1990. Ce document fait à son tour référence à

2) Dodziuk, Équations aux différences, inégalité isopérimétrique et transitoire de certaines marches aléatoires, Transactions de l'American Mathematical Society, 1984.

En outre, un important document "compagnon algorithmique" à Sinclair et Jerrum à l'époque était

3) Dyer Frieze Kannan, Un algorithme temporel polynomial aléatoire pour approximer le volume des corps convexes, STOC 89. Bien sûr, les résultats ici ont été construits sur SJ.