Pouvons-nous décider si un permanent a un terme unique?

Supposons que l'on nous donne une matrice n par n, M, avec des entrées entières. Peut-on décider dans P s'il existe une permutation telle que pour toutes les permutations π ≠ σ on a Π M i σ ( i ) ≠ Π M i π ( i ) ?$\sigma$$\pi\ne\sigma$$\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$

Remarques. On peut bien sûr remplacer le produit par une somme, le problème reste le même.

Si la matrice ne peut avoir que 0/1 entrées, alors nous obtenons le problème Bipartite-UPM qui est même en NC.

Edit: Décider si le plus petit terme est unique est NP-difficile si nous autorisons des réductions aléatoires. En fait, je voulais à l'origine poser cette question, car cela aurait aidé à résoudre celle- ci. Maintenant , il est apparu que c'est NP-complet, alors laissez - moi esquisse la réduction à notre problème. Imaginez que l'entrée soit une matrice zéro-un (nous pouvons le supposer) et remplacez les entrées nulles par des nombres réels aléatoires entre 2 et 2 + 1 / n. Or, dans cette nouvelle matrice à forte probabilité, le plus petit terme est unique si et seulement si la matrice d'origine est permutable à la forme triangulaire supérieure.

Edit: Questions similaires:

Dans un graphique pondéré par les bords, y a-t-il un cycle hamiltonien avec un poids unique?

Si nous avons un CNF avec des poids attribués à chaque variable / affectation satisfaisante, y a-t-il une affectation de satisfaction de poids unique?

Ce sont bien sûr au moins NP-dur. Ces problèmes sont-ils équivalents à l'original ou sont-ils plus difficiles?

Joli problème! Il n'est pas difficile de donner une réduction montrant que, si l'on pouvait résoudre votre problème, alors on pourrait également résoudre le problème suivant, appelez-le ISOLATED SUBSET SUM:

Étant donné les entiers a ₁ , ..., a _n , existe-t-il un sous-ensemble S des a _i dont la somme n'est partagée par aucun autre sous-ensemble?

La réduction fonctionne en réduisant d'abord ISOLATED SUBSET SUM à ISOLATED PERFECT MATCHING, où, étant donné un graphique bipartite pondéré G, nous voulons trouver une correspondance parfaite dont le poids n'est partagé par aucune autre correspondance parfaite. Cette réduction est simple: pour chaque i, créez un 2x2 complet G sous - graphe _i dans G, comme celle des deux appariements possibles que nous choisissons G _i encode notre choix de savoir si oui ou non un _i est dans l'ensemble S.

Ensuite, réduisez la CORRESPONDANCE PARFAITE ISOLEE à votre problème comme suit:

1. Pour tout i, j, si l'arête (i, j) existe et a le poids w _ij , alors définissez M _ij : = exp (w _ij ). (Cela transforme les sommes en produits.)
2. Pour tout i, j, si l'arête (i, j) n'existe pas, définissez M _ij : = 0.
3. Remplissez M pour vous assurer qu'il existe au moins deux permutations π telles que Π M _{i, π (i)} = 0. (Cela exclut les solutions parasites qui ne correspondent à aucune correspondance parfaite dans G.)

Maintenant, la SOUS-ENSEMBLE ISOLÉ donne l' impression d' être au moins NP-difficile, et peut-être même plus difficile que cela (la limite supérieure évidente est seulement Σ ₂ P)! De plus, on pourrait peut-être prouver que la SOUS-ENSEMBLE ISOLÉ est NP-difficile en utilisant une réduction aléatoire de style Valiant-Vazirani. Cependant, c'est un défi que je laisse à quelqu'un d'autre ...