Ordre topologique positif, prendre 3

Supposons que nous ayons une matrice n par n. Est-il possible de réorganiser ses lignes et colonnes de manière à obtenir une matrice triangulaire supérieure?

Cette question est motivée par ce problème: Ordre topologique positif

Le problème de décision d'origine est au moins aussi difficile que celui-ci, donc un résultat d'exhaustivité NP résoudrait cela aussi.

Edit: Laszlo Vegh et Andras Frank ont ​​attiré mon attention sur un problème équivalent posé par Gunter Rote: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

Edit: La réduction au problème d'origine est la suivante. Supposons que le DAG n'ait que deux niveaux, ceux-ci correspondront aux lignes et colonnes de la matrice. De plus, nous avons un seul nœud avec un poids +1. Tout le monde au niveau inférieur a un poids -1 et au niveau supérieur +1.

Le problème s'est avéré être NP-complet. Vous pouvez lire plus en détail ici et ici . Court résumé:

Dasgupta, Jiang, Kannan, Li et Sweedyk ont ​​montré que la réduction provenait d'un problème NP-complet: étant donné un graphe biparti G et un entier k, décidez si G a un sous-graphe induit sur 2 nœuds pouvant être étendu à être uniquement associables. Stéphane Vialette a observé que cela se réduit à la version d'appariement bipartite unique de ce problème si nous ajoutons nk nœuds isolés aux deux classes.

Attention: Ceci est une réponse partielle basée sur des conjectures et des ouï-dire! Alors que le problème plus général de David Eppstein est NP-complet, celui-ci est peut-être en P.

$(A \cup B, E)$$|A|=|B|=n$

• il ne doit pas contenir 2 correspondances parfaites,
• $\le (1, 2, ..., n)$

Jusqu'à présent, je n'ai pas pu trouver d'exemple où un graphique remplit ces conditions, mais ne parvient pas à être UPMX. Dans ce cas, ils sont peut-être suffisants. On pourrait le prouver par l'algorithme suivant:

1. si le graphique a> 1 correspondances parfaites, retournez "pas UPMX"
2. si le graphique échoue à la condition de degré, retournez "pas UPMX"
3. si le graphique a = 1 correspondance parfaite, retournez "UPMX"
4. sinon, nous pouvons peut-être montrer que c'est UPMX. Peut-être que l'algorithme suivant pourrait le prouver:
   • $\le \tbinom{n+1}{2} - 2$
   • trouver un nouveau bord e dont l'ajout ne crée pas une correspondance parfaite et ne viole pas la condition de degré; ajouter e au graphique
5. maintenant le graphe a arêtes et aucune correspondance parfaite, et satisfait la condition de degré. Je pense qu'il n'est pas trop difficile de montrer qu'il s'agit d'UPPMX, d'où le graphique d'origine.$\tbinom{n+1}{2} - 1$

Vous pouvez caractériser les nouvelles arêtes qui créeraient une correspondance parfaite en utilisant le théorème de Hall, et il n'est pas difficile de caractériser les nouvelles arêtes qui violeraient la limite de degré. Malheureusement, même s'il est vrai qu'une arête du bon type existe toujours, je n'ai pas pu le prouver.

Cet article, Obtention d'une matrice triangulaire par permutations indépendantes ligne-colonne Fertin, Rusu et Vialette, montre que le problème est NP-complet pour les matrices binaires carrées.

Le problème est NP-complet mais où est l'algorithme pour le résoudre? J'ai un algorithme qui fonctionne sur de nombreux exemples, mais je ne peux pas démontrer qu'il fonctionnera tout le temps.