Extension au problème du mariage stable?

Cela peut ressembler davantage à une question de sciences sociales qu'à une question TCS, mais ce n'est pas le cas. En lisant " Algorithmes randomisés " qui décrit le problème du mariage stable, on peut lire ce qui suit (p54)

"On peut montrer que pour chaque choix de listes de préférences, il existe au moins un mariage stable. (Curieusement, ce n'est pas le cas dans une société homosexuelle monogame à nombre pair d'habitants) ..."

Existe-t-il des extensions très simples du problème du mariage stable qui permettent un certain type d'état stable qui inclut une société homosexuelle monogame ou une société dans laquelle un certain sous-ensemble de la population suit un ensemble de règles différent de l'ensemble plus large?

Dans l'affirmative, existe-t-il des algorithmes qui effectuent une telle correspondance?

Il existe une conjecture ouverte concernant 3 types de personnes. Supposons que vous ayez des hommes, des femmes et des chiens afin que les hommes aient des listes de préférences sur les femmes, les femmes aient des listes de préférences sur les chiens et les chiens aient des listes de préférences sur l'homme. Y a-t-il toujours un mariage stable?

(Pour d'autres structures de préférence sur une société à 3 types, les réponses sont connues pour être négatives).

Un autre commentaire est que le mariage stable représente un noyau non vide et il y a une condition bien connue de Scarf qui implique l'existence d'un noyau non vide. Il est connu que les conditions de l'écharpe sont satisfaites pour le problème initial du mariage stable et pour le problème d'attribution des maisons. (Mais a échoué pour le problème hommes / femmes / chiens).

Quelques références:

• Une référence à l'article de Scarf: HE Scarf, The core of an person game, Econometrica 35 (1967) 50--69.$N$
• Un article montrant diverses applications du lemme crucial de Scarf et en cite quelques autres: (En particulier, une version fractionnée du théorème de Gale-Shapley pour les hypergraphes d'Aharoni et Holzman est décrite): R. Aharoni et T. Fleiner, On a lemma de Scarf, J. Combin. Theory Ser. B 87 (2003), 72-80.
• Une solution du problème hommes-femmes-chiens lorsqu'il y a au plus 4 de chaque sexe apparaît dans un article d'Eriksson et al (Math Soc Sci 2006).

Ce que vous demandez n'est plus appelé «problème de mariage stable». En revanche, cela s'appelle «Problème des colocataires stables». Selon Wikipedia :

En mathématiques, en particulier dans les domaines de la théorie des jeux et de la combinatoire, le problème de la colocation stable (SRP) est le problème de trouver une correspondance stable - une correspondance dans laquelle il n'y a pas de paire d'éléments, chacun d'un ensemble apparié différent, où chaque membre de la paire préfère l'autre à leur match. Ceci est différent du problème du mariage stable en ce que le problème des colocataires stables n'exige pas qu'un ensemble soit divisé en sous-ensembles masculins et féminins. Toute personne peut préférer n'importe qui dans le même ensemble.

Il est généralement indiqué comme suit:

Dans un cas donné du problème des colocataires stables (SRP), chacun des 2n participants classe les autres dans un ordre de préférence strict. Un appariement est un ensemble de n paires disjointes (non ordonnées) de participants. Un M correspondant dans une instance de SRP est stable s'il n'y a pas deux participants x et y, chacun préférant l'autre à son partenaire dans M. Une telle paire est censée bloquer M, ou être une paire de blocage par rapport à M.

Wikipedia discute de la réponse à votre question. Il dit que le cas stable ne peut pas toujours être trouvé, pourtant, il existe un algorithme efficace, dû à Irving (1985), qui trouvera une telle correspondance s'il y en a un.

Éditer:

Plusieurs relaxations naturelles sont envisageables pour le SRP: Au lieu d'exiger qu '«il n'y ait pas deux participants x et y, chacun préférant l'autre à son partenaire en M», on peut exiger que:

1. Au moins une certaine partie des gens sont satisfaits de leurs colocataires. Ici, la satisfiabilité peut être interprétée différemment. Par exemple:
   • On dit qu'une paire (x, y) est satisfaite si y est le premier choix de x, et vice versa.
   • On dit qu'une paire (x, y) est satisfaite si l'un de x ou y est le premier choix d'un autre.
   • Une paire (x, y) est dite insatisfaite s'il existe une paire (z, w) telle que x aime z plus que y, et z aime x plus que w.
   • ...
2. Tout au plus, une certaine partie des gens ne sont pas satisfaits de leurs colocataires. (Cette exigence peut être différente de la précédente en fonction de l'interprétation de la satisfiabilité .)

En plus de la variante bien connue des colocataires stables du problème du mariage stable, il y a le problème de l'attribution des maisons. Dans cette version, vous avez personnes et maisons. Les gens classent les maisons selon leurs préférences, mais les maisons n'expriment aucune préférence par rapport aux gens. Cet article d'Abraham et al discute d'un algorithme pour trouver une cardinalité maximale, une correspondance Pareto-optimale.$n$$m$