Théorème de l'Église et théorèmes d'incomplétude de Gödel

J'ai récemment lu certaines des idées et de l'histoire du travail révolutionnaire effectué par divers logiciens et mathématiciens en matière de calculabilité. Bien que les concepts individuels soient assez clairs pour moi, j'essaie de bien saisir leurs interrelations et le niveau abstrait auquel elles sont toutes liées.

Nous savons que le théorème de Church (ou plutôt, les preuves indépendantes du Entscheidungsproblem de Hilbert par Alonzo Church et Alan Turing) ont prouvé qu'en général, nous ne pouvons pas calculer si une déclaration mathématique donnée dans un système formel est vraie ou fausse. Si je comprends bien, la thèse de Church-Turing fournit une description assez claire de l'équivalence (isomorphisme) entre le calcul lambda de Church et les machines de Turing, nous avons donc effectivement un modèle unifié de calculabilité. (Remarque: pour autant que je sache, la preuve de Turing utilise le fait que le problème d'arrêt est indécidable. Corrigez-moi si je me trompe.)

Maintenant, le premier théorème d'incomplétude de Gödel déclare que toutes les déclarations dans un système formel cohérent avec une puissance arithmétique suffisante ne peuvent pas être prouvées ou réfutées (décidées) dans ce système. À bien des égards, cela me semble dire exactement la même chose que les théorèmes de Church, étant donné que le calcul lambda et les machines à tourner sont tous les deux des systèmes formels efficaces!

Ceci est cependant mon interprétation holistique, et j'espérais que quelqu'un pourrait faire la lumière sur les détails. Ces deux théorèmes sont-ils effectivement équivalents? Y a-t-il des subtilités à observer? Si ces théories regardent essentiellement la même vérité universelle de différentes manières, pourquoi ont-elles été abordées sous des angles si différents? (Il y avait plus ou moins 6 ans entre la preuve de Godel et celle de Church). Enfin, peut-on dire que le concept de provabilité dans un système formel (calcul de preuve) est identique au concept de calculabilité dans la théorie de la récursivité (machines de Turing / calcul lambda)?

Tout d'abord, je vous suggère de lire "Metamathematics" de Kleene comme un bon livre sur ces sujets. Les deux premiers chapitres du volume I de la "Théorie classique de la récursivité" d'Odifreddi peuvent également être utiles pour comprendre la relation entre ces concepts.

Nous savons que le théorème de Church (ou plutôt les preuves indépendantes du Entscheidungsproblem de Hilbert par Alonzo Church et Alan Turing) a prouvé qu'en général, nous ne pouvons pas calculer si une déclaration mathématique donnée dans un système formel est vraie ou fausse.

Je pense que vous faites référence au théorème de Church selon lequel l'ensemble des théorèmes de la logique du premier ordre n'est pas décidable. Il est important de noter que la langue est de premier ordre.

Si je comprends bien, la thèse de Church-Turing fournit une description assez claire de l'équivalence (isomorphisme) entre le calcul lambda de Church et les machines de Turing, nous avons donc effectivement un modèle unifié de calculabilité.

Non. L'équivalence si lambda-calculabilité et Turing-calculabilité est un théorème de Kleene. Ce n'est pas une thèse. Il est considéré comme une preuve à l'appui de la thèse de Church.

Remarque: Pour autant que je sache, la preuve de Turing utilise le fait que le problème d'arrêt est indécidable. Corrige moi si je me trompe.

Maintenant, le premier théorème d'incomplétude de Gödel déclare que toutes les déclarations dans un système formel cohérent ne peuvent pas être prouvées dans ce système. À bien des égards, cela me semble dire exactement la même chose que les théorèmes de Church, étant donné que le calcul lambda et les machines à tourner sont tous les deux des systèmes formels efficaces!

Non. Le théorème de Godel déclare que pour chaque théorie cohérente , récursivement énumérable qui contient suffisamment d'arithmétique , il y a une phrase st et ne sont pas prouvables en elle.$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

Cela ne veut pas dire la même chose. Il ne dit rien sur un ensemble de théorèmes de la théorie indécidable.

Ceci est cependant mon interprétation holistique, et j'espérais que quelqu'un pourrait faire la lumière sur les détails. Ces deux théorèmes sont-ils effectivement équivalents? Y a-t-il des subtilités à observer? Si ces théories examinent essentiellement la même vérité universelle de différentes manières, pourquoi ont-elles été abordées sous des angles si différents? (Il y avait plus ou moins 6 ans entre la preuve de Godel et celle de Church).

Au fil des ans, il y a eu beaucoup d'abus des théorèmes de Godel (et des théorèmes similaires). Il faut être très prudent dans leur interprétation. Pour autant que je l'ai vu, les abus sont généralement le résultat d'oublier de mentionner une condition dans le théorème ou de combiner les théorèmes par d'autres croyances. Un examen attentif montre que ces théorèmes, bien que liés, ne sont pas équivalents.

Enfin, peut-on essentiellement dire que le concept de provabilité dans un système formel (calcul de preuve) est identique au concept de calculabilité dans la théorie de la récursivité (machines de Turing / calcul lambda)?

Je ne comprends pas ce que vous entendez par "identique". Certes, il existe de nombreuses relations entre calculabilité et prouvabilité. Je pourrais peut-être faire un commentaire plus utile si vous clarifiez ce que vous entendez par ces termes identiques.

mise à jour

Permet de considérer l'ensemble des phrases bien formées dans la langue de l' arithmétique comme . Soit (les axiomes de) une théorie satisfaisant aux conditions du premier théorème d'incomplétude. Laissez l'ensemble des théorèmes de la théorie et l'ensemble des phrases dont la négation est un théorème de . Soit l'ensemble des phrases qui sont vraies dans le modèle standard et l'ensemble des fausses phrases. Une phrase est en si sa négation est en . De plus, chaque phrase est vraie ou fausse, c'est-à-dire .$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

Incomplétude théorème du Gôdel que est un sous - ensemble de . Par conséquent, la vérité dans le modèle standard et la prouvabilité en sont différentes.$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

Notez que est re, le théorème de Church déclare que n'est pas décidable.$Thm(T)$$Thm(T)$

Sur la relation entre la prouvabilité dans le système formel et la calculabilité. L'une est la suivante: si le système est efficace, alors l'ensemble d'expressions dérivables qu'il contient est re, et le système est un cas particulier de grammaire. La grammaire est une autre façon de définir le concept de calculable qui est équivalent à la calculabilité de la machine de Turing.

Peut-on dire que le concept de provabilité dans un système formel (calcul de preuve) est identique au concept de calculabilité dans la théorie de la récursivité (machines de Turing / calcul lambda)?

Celles-ci sont très similaires mais pas identiques, car certaines étapes du calcul d'épreuve peuvent représenter des opérations non calculables.

$ZFC$$\wp(N)$

De même, le théorème de complétude de Gödel nous dit que toute formule valide dans la logique du premier ordre a une preuve, mais le théorème de Trakhtenbrot nous dit que, sur des modèles finis, la validité des formules du premier ordre est indécidable.

Les preuves finies ne correspondent donc pas nécessairement aux opérations calculables.

Bien que ce ne soit pas tout à fait ce que vous demandez, c'est dans la même veine et j'espère que vous (et d'autres lecteurs de votre question) le trouverez intéressant. Vous devriez certainement lire la correspondance Curry-Howard , qui dit que la catégorie de programmes est, dans un sens spécifique, isomorphe à la catégorie des preuves constructives . (Il s'agit de discuter des preuves et de la calculabilité à un niveau différent de celui des autres réponses.)

Je vais essayer de répondre à votre question du point de vue que vous adoptez, en bref; J'essaie également de relier les deux théorèmes d'une manière différente.

Le premier théorème d'incomplétude de Gödel déclare que dans un système formel cohérent avec une puissance arithmétique suffisante, il y a un énoncé P tel qu'aucune preuve ni de lui ni de sa négation n'existe. Cela n'implique pas qu'il n'y ait pas d'algorithme de décision pour l'ensemble des théorèmes de la théorie, ce qui dirait également que ni P ni non P ne sont des théorèmes. Le résultat du théorème de Church-Turing dit qu'un tel algorithme n'existe pas. C'est aussi le cœur de la réponse de Kaveh, j'espère l'avoir expliqué plus clairement.

Je vais maintenant essayer de prouver que le théorème de Church-Turing implique le théorème de Gödel, veuillez m'expliquer où et si je me trompe. L'ensemble des théorèmes Thm est partiellement décidable, et supposons que R est un programme qui le reconnaît (c'est-à-dire qu'il s'arrête avec "oui" si l'entrée est en Thm, continue de fonctionner autrement). Utilisons-le pour construire un nouvel algorithme: étant donné une instruction Q, pour voir si elle est prouvable, exécutez R en parallèle sur Q et non Q, en entrelaçant leur exécution, et en s'arrêtant lorsque le premier s'arrête, et en produisant "Non" si "not Q" a été prouvé, et "Yes" sinon; cela donne un algorithme calculable. En supposant par contradiction que toutes les déclarations peuvent être prouvées ou réfutées, cet algorithme résoudrait le problème Entscheidungs, mais c'est absurde! Par conséquent, il doit y avoir une déclaration qui peut «