La relation des théorèmes d'incomplétude de Gödel à la thèse de Church-Turing

C'est peut-être une question naïve, mais voilà. (Edit - il n'y a pas de votes positifs, mais personne n'a proposé de réponse non plus; peut-être que la question est plus difficile, obscure ou floue que je ne le pensais?)

Le premier théorème d'incomplétude de Gödel peut être prouvé comme un corollaire de l'indécidabilité du problème d'arrêt (par exemple Sipser Ch. 6; article de blog de Scott Aaronson ).

D'après ce que je comprends (confirmé par les commentaires), cette preuve ne dépend pas de la thèse de Church-Turing. Nous dérivons une contradiction en montrant que, dans un système formel complet et cohérent, une machine de Turing pourrait résoudre le problème d'arrêt. (Si, d'un autre côté, nous venions de montrer qu'une procédure efficace pouvait décider du problème de l'arrêt, nous aurions également besoin de supposer la thèse de Church-Turing pour obtenir une contradiction.)

Donc, on pourrait dire que ce résultat fournit un peu de support intuitif pour la thèse Church-Turing, car il montre qu'une limitation des machines de Turing implique une limitation universelle. (Le billet de blog d'Aaronson soutient certainement cette vue.)

Ma question est de savoir si nous pouvons gagner quelque chose de plus concret en inversant: Quelles implications formelles les théorèmes de Gödel ont-ils pour la thèse de Church-Turing? Par exemple, il semble intuitivement possible que le théorème de la première incomplétude implique qu'aucune procédure efficace ne peut déterminer si une machine de Turing arbitraire s'arrête; le raisonnement pourrait aller que l'existence d'une telle procédure implique la capacité de construire une théorie cohérente complète. Est-ce correct? Y a-t-il des résultats dans ce sens?$\omega$

(Je demande par curiosité - je n'étudie pas moi-même la logique - donc je m'excuse si c'est bien connu ou pas au niveau de la recherche. Dans ce cas, considérez cela comme une demande de référence! Merci pour tout commentaire ou réponse !)

Question qui semble liée, mais qui ne l'est pas: le théorème de Church et les théorèmes d'incomplétude de Gödel

EDIT: Je vais essayer de rendre la question plus claire! Premièrement - mon intuition naïve est que l'incomplétude de Gödel devrait impliquer au moins quelques limitations sur ce qui est ou n'est pas calculable. Ces limitations seraient inconditionnelles, c'est -à- dire qu'elles devraient s'appliquer à tous les modèles de calcul plutôt qu'aux seules machines de Turing.

Je me demande donc si c'est le cas (il doit y avoir une implication, non?). En supposant que c'est le cas, je suis le plus curieux de savoir comment cela a un impact sur la thèse de Church-Turing - l'idée que tout ce qui est effectivement calculable peut être calculé par une machine de Turing. Par exemple, il semble possible que l'existence d'une procédure efficace pour décider si une machine de Turing s'arrête contredirait le premier théorème d'incomplétude. Ce résultat démontrerait qu'aucune méthode de calcul possible ne peut être "beaucoup" plus puissante que les machines de Turing; mais ce résultat est-il vrai? J'ai quelques questions similaires dans les commentaires. Je serais très intéressé d'entendre une réponse à l'une de ces questions, un pointeur vers une réponse dans la littérature, une explication de la raison pour laquelle tout mon raisonnement est décalé, ou tout autre commentaire!

Voici une réponse philosophique qui pourrait vous divertir.

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel concernent le système formel de l'arithmétique de Peano. En tant que tels, ils ne disent rien sur les modèles de calcul, du moins pas sans une certaine interprétation.

L'arithmétique Peano montre facilement l'existence de fonctions non calculables. Par exemple, étant une théorie classique suffisamment expressive pour parler des machines de Turing, elle montre l'exemple particulier du milieu exclu qui dit que chaque machine de Turing s'arrête ou fonctionne pour toujours. Néanmoins, les travaux de Gödel ont donné naissance à une notion importante de calculabilité, à savoir celle d'une fonction récursive (primitive) . Ce ne sont donc pas les théorèmes eux-mêmes qui se connectent à la calculabilité, mais plutôt la méthode de preuve qui les établit.

L'essentiel des théorèmes d'incomplétude peut être exprimé sous une forme abstraite en utilisant la logique de provabilité, qui est une sorte de logique modale. Cela donne aux théorèmes d'incomplétude une large gamme d'applicabilité bien au-delà de l'arithmétique et de la calculabilité de Peano. Dès que certains principes à virgule fixe sont satisfaits, l'incomplétude entre en jeu. Ces principes à virgule fixe sont satisfaits par la théorie traditionnelle de la calculabilité, qui est donc victime de l'incomplétude, j'entends par là l'existence d'ensembles de ce indissociables. Étant donné que les phrases prouvables et réfutables de l'arithmétique de Peano forment des ensembles de ce inséparables, les théorèmes d'incomplétude traditionnels de Gödel peuvent être considérés comme un corollaire aux phénomènes d'incomplétude de la calculabilité. (Je suis philosophiquement vague et votre tête vous fera mal si vous essayez de me comprendre en tant que mathématicien.)

Je suppose que nous pouvons prendre deux positions sur la façon dont tout cela se rapporte à la notion informelle d'efficacité ("des choses qui peuvent en fait être calculées"):

1. Pour tout ce que nous savons, nous sommes juste un automate fini assez grand, capable de contempler des super-héros fictifs appelés "machines de Turing" qui sont capables de calculer avec des nombres illimités (halètement!). Si tel est le cas, Gödel n'était qu'un très bon conteur. La traduction de ses histoires en effectivité est alors une question d'application (nécessairement inexacte) de l'imagination à la réalité.

2. Parce que les phénomènes d'incomplétude se produisent naturellement dans de nombreux contextes, et certainement dans toutes les notions raisonnables de calculabilité, nous concluons qu'il doit en être de même pour l'efficacité. Par exemple, supposons que nous puissions envoyer des machines de Turing dans des trous noirs pour calculer les machines de Turing à temps infini de la Joel Hamkin . Cela nous donne une immense puissance de calcul dans laquelle l'oracle d'arrêt est un jouet de maternelle. Mais encore, le modèle satisfait aux conditions de base qui nous permettent de montrer l'existence d'ensembles inséparables. Et donc encore une fois, le calcul n'est pas tout-puissant et l'incomplétude est une réalité de la vie.

Je voudrais souligner le commentaire de Neel , les principaux outils à la fois pour l'indécidabilité de l'arrêt et les théorèmes d'incomplétude de Godel sont:

1. encoder des concepts syntaxiques comme les preuves, le calcul, etc. par des nombres / chaînes et des relations / fonctions sur eux;
2. Théorème de Godel à point fixe.

Le codage d'objets et de concepts syntaxiques peut sembler évident aujourd'hui que nous sommes habitués aux ordinateurs numériques, mais c'est une idée ingénieuse essentielle pour les ordinateurs et les logiciels universels. Tout ce qui est nécessaire pour prouver l'existence d'un simulateur universel se trouve dans son article.

Godel montre également que nous pouvons représenter ces concepts syntaxiques et généralement les relations / fonctions calculables TM par de simples formules arithmétiques.

La preuve de l'inachèvement de Godel en bref est la suivante:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

L'indécidabilité du problème d'arrêt pour les MT utilise des ingrédients similaires:

1. $Halt(x)$$x$
2. $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

Les preuves sont très similaires et utilisent les mêmes ingrédients (bien que pour quelqu'un qui est plus familier avec les MT mais pas beaucoup avec la logique, l'indécidabilité du problème d'arrêt pourrait sembler plus simple: l'instance particulière du théorème de point fixe utilisée dans la preuve d'indécidabilité pourrait sembler plus simple que l'instance particulière du point fixe utilisée dans le théorème de Godel bien qu'elles soient essentiellement les mêmes, mais les idées essentielles sont juste le codage d'objets et de concepts syntaxiques en utilisant des nombres / chaînes et des formules / fonctions à leur sujet, et en appliquant un théorème de point fixe).

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps:
Notez que les théorèmes de Godel sont publiés en 1931, tandis que l'indécidabilité de Turing est publiée en 1936. Au moment de la publication de l'article de Godel, les MT n'étaient pas définies et Godel utilisait un autre modèle équivalent. IIRC, Godel n'était pas entièrement satisfait de son résultat en fixant l'objectif initial du programme de Hilbert parce qu'il n'était pas convaincu que le modèle de calcul qu'il utilisait capturait vraiment la notion intuitive de calcul algorithmique, il n'était satisfait qu'après l'argument philosophique de Turing sur la capture de MT la notion intuitive de calculabilité algorithmique. Je pense que vous pouvez en savoir plus à ce sujet dans les œuvres collectées de Godel.