Distribution de probabilité de profondeur bornée

Deux questions connexes sur l'informatique en profondeur limitée:

1) Supposons que vous commenciez par n bits et que vous commenciez par le bit i peut être 0 ou 1 avec une certaine probabilité p (i), indépendamment. (Si cela rend le problème plus simple, nous pouvons supposer que tous les p (i) s sont 0,1 ou 1/2.ou même que tous sont 1/2.)

Maintenant, vous faites un nombre limité de tours de calcul. À chaque tour, vous appliquez des portes classiques réversibles sur des ensembles de bits disjoints. (Fixez votre ensemble préféré de portes réversibles classiques universelles.)

À la fin, vous obtenez une distribution de probabilité sur les chaînes sur n bits. Y a-t-il des résultats sur la restriction de telles distributions?

Je cherche quelque chose d'analogue au lemme de commutation Hastad, résultat Boppana que l'influence totale est petite ou théorème LMN.

2) La même question que 1) mais avec des circuits quantiques de profondeur bornés.

Il y a quelques articles relativement récents d'Emanuele Viola et al., Qui traitent de la complexité des distributions d'échantillonnage. Ils se concentrent sur un modèle restreint de calculs, comme les arbres de décision de profondeur bornés ou les circuits de profondeur bornés.

Malheureusement, ils ne discutent pas des portes réversibles. Au contraire, il y a souvent une perte de longueur de sortie. Néanmoins, ces articles peuvent être un bon point de départ.

Les circuits à profondeur limitée ne peuvent pas échantillonner de bons codes

La complexité des distributions

Réponse courte.

Pour les circuits quantiques, il existe au moins un résultat de non- limitation: les circuits quantiques à profondeur limitée arbitraire sont peu susceptibles d'être simulés avec une petite erreur multiplicative dans la probabilité du résultat, même pour les circuits classiques à profondeur polynomiale .

$\mathsf{QNC^0}$

Détails

Nous pouvons considérer la définition des circuits quantiques à profondeur polylogique donnée par Fenner et al. (2005) :

$\mathsf{QNC^k}$$\{C_n\}_{n\geqslant0}$$p$$C_n$$n$$p(n)$$O(\log^k(n))$

Les portes à qubit unique doivent provenir d'un ensemble fini fixe, bien que cela suffise pour simuler n'importe quelle unité fixe sur un nombre constant de qubits avec une précision fixe. Nous permettons également à tout sous-ensemble des qubits à la fin du circuit d'être utilisé pour représenter la sortie de la famille de circuits (par exemple, un seul qubit pour les fonctions booléennes).

Bremner, Jozsa et Sheppard (2010) notent (voir la section 4) que, en utilisant une adaptation de la technique de porte-téléportation due à Terhal et DiVincenzo (2004) , post-sélection sur certains des qubits dans un circuit permet de résoudre les problèmes dans . En utilisant leurs résultats sur la simulation de circuits post-sélectionnés, cela implique que le problème de l'échantillonnage classique à partir de la distribution de sortie d'un circuit arbitraire avec une sortie booléenne, avec une erreur multiplicative au plus dans la probabilité d'échantillonnage, est en impossible avec des circuits de profondeur polynomiaux aléatoires à moins que la hiérarchie polynomiale ne s'effondre partiellement$\mathsf{QNC^0}$$\mathsf{PostBQP = PP}$$\mathsf{QNC^0}$$\sqrt 2$$\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$ ).