Sur l'optimalité de l'algorithme de Grover avec une probabilité de réussite élevée

Il est bien connu que la complexité de la requête quantique d'erreur bornée de la fonction est $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ . Maintenantla question est que si nous voulonsnotre algorithme quantique pour réussir à chaque entrée avecprobabilitéplutôt que l'habituel. Maintenant, en termes dequelles seraient les limites supérieure et inférieure appropriées? $\Theta(\sqrt{n})$ $1-\epsilon$ $2/3$ $\epsilon$

Il est immédiat que requêtes suffisent pour cette tâche en répétant l'algorithme Grover. Mais d'après ce dont je me souviens, ce n'est pas du tout optimal car même un algorithme de Grover simple, s'il est exécuté avec soin, c'est-à-dire pour un nombre approprié d'itérations, peut atteindre quelque chose commeavec juste $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ $\epsilon=O(1/n)$ itérations. Et donc en utilisant cela, on peut obtenir une amélioration pour tous les. Par contre, je ne m'attends pas à ce que $O(\sqrt{n})$ $\epsilon$ être la bonne réponse pour les très petits. $\Omega(\sqrt{n})$ $\epsilon$

Mais je suis intéressé de voir ce que l'on peut montrer en termes de bornes supérieures et inférieures dépendantes de pour différentes plages de particulier lorsque est très petit, disons ou pour gros . $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ $\epsilon=1/n^k$ $k$

(Pour donner un peu de contexte, le phénomène général auquel je veux en venir est l'amplification dans le contexte de la complexité des requêtes quantiques.)

— Mohammad Bavarian
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Ce document devrait fournir des réponses à vos questions: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— John Watrous

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

o (1)

$o(1)$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

@MohammadBavarian: Je pense que ce n'est que dans le cas où le nombre de solutions est connu (ou il existe une solution unique).

— Robin Kothari

Par souci d'exhaustivité, voici une réponse.

$Q_\epsilon(f)$ $\epsilon$ $f$ $\mathsf{OR}_n$ $n$ $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ $\Theta(\sqrt{n})$

$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Cela découle des limites pour les algorithmes quantiques à petite erreur et à zéro erreur .

$f$ $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Cela a été montré dans une note sur les algorithmes quantiques et le degré minimal de polynômes d'erreur epsilon pour les fonctions symétriques .

— Robin Kothari
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