Existe-t-il des théories intermédiaires eta pour le calcul lambda?

Il existe deux principales théories étudiées du calcul lambda, la théorie bêta et son extension post-complète, la théorie bêta-eta.

Ces deux théories ont-elles un entre-deux, une sorte de règle ETA intermédiaire qui donne une théorie de réécriture confluente? Existe-t-il une notion intéressante d’extensionnalité partielle à laquelle elle correspond?

C’est la deuxième question que j’ai posée à la recherche de l’éta intermédiaire, la précédente étant Extensions de la théorie bêta du calcul lambda , ce qui a conduit à s’interroger sur une notion orthogonale d’extension, Caractériser les équivalences invisibles par des règles de réécriture confluentes , qui visait à répondre à cette question précédente.

Pour les calculs typés, si vous considérez les types négatifs ( , × , → ), vous pouvez activer ou désactiver les règles ETA à volonté sans affecter la confluence.$1$$\times$$\to$

Pour les types positifs (sommes et paires avec élimination de correspondance de motifs), la situation est beaucoup plus compliquée. Fondamentalement, la question est de savoir si le terme a une forme d'élimination à portée fermée, ce qui permet aux contextes d'interagir de manière compliquée avec les expansions eta. Par exemple, si a le type A × B , alors son eta-expansion est l e $e$$A \times B$ . Mais pour obtenir la théorie équationnelle à laquelle un théoricien de catégorie s'attendrait, vous devez considérer les contextes C [ - ] et généraliser l'équation pour être C [ e ] ≡ l e $\mathsf{let}\;(a,b) = e \;\mathsf{in}\; (a,b)$$\mathbb{C}[-]$ (avec les restrictions de portée attendues).$\mathbb{C}[e] \equiv \mathsf{let}\;(a,b) = e\;\mathsf{in}\;\mathbb{C}[(a,b)]$

Je pense que vous pouvez toujours prouver un résultat de confluence si vous n'autorisez pas les conversions de navettage. Mais c'est du ouï-dire - je ne l'ai jamais essayé moi-même, ni regardé les papiers le documentant.

Je ne connais pas vraiment le calcul lambda non typé, cependant.

EDIT: Charles demande des réductions eta. C'est prometteur pour le genre d'exemple qu'il cherche, car je pense qu'en général, ils ne seront pas assez forts pour modéliser la théorie de l'égalité complète, que j'illustrerai avec un exemple simple impliquant des booléens. L'éta-expansion des booléens est . (L'eta-réduction est bien sûr l'autre sens.)$\mathbb{C}[e] \mapsto \mathsf{if}(e, \mathbb{C}[\mathsf{true}], \mathbb{C}[\mathsf{false}])$

Maintenant, considérons le terme . Montrant que ce terme est équivalent à i f ( e , $\mathsf{if}(e, f, g)\;\mathsf{if}(e, x, y)$ doit passer par une eta-expansion, car nous devons remplacer le e dans l'un des if-then-elses par t r u e et f a l s e afin de conduire une β- réduction. $\mathsf{if}(e, f\;x, g\;y)$$e$$\mathsf{true}$$\mathsf{false}$$\beta$

Selon John C.Mitchell dans Foundations of Programming Languages, à la fois dans STLC et dans le calcul lambda non typé, la règle de réduction pair (proj₁ P, proj₂ P) → Prompt la confluence lorsqu'elle est combinée avec la fixréduction (ou, je suppose en regardant la preuve), sans de telles conditions pour le cas non typé. Il s'agit du théorème 4.4.19 (page 272).