Trouvez

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Soit le langage de toutes les formules -CNF , de sorte qu'au moins des clauses de puissent être satisfaites. $L_\epsilon$ $2$ $\varphi$ $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ $\varphi$

Je dois prouver qu'il existe st is -hard for any . $\epsilon'$ $L_\epsilon$ $\mathsf{NP}$ $\epsilon<\epsilon'$

Nous savons que peut être approximativement au précédent des clauses d'une réduction . Comment dois-je résoudre celui-ci? $\text{Max}2\text{Sat}$ $\frac{55}{56}$ $\text{Max}3\text{Sat}$

complexity-theory satisfiability approximation

— Joni
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Dans son célèbre article, Håstad montre qu'il est difficile pour NP d'approcher MAX2SAT mieux que . Cela signifie probablement qu'il est difficile de distinguer NP des instances qui sont satisfaisables et des instances qui sont satisfaisables, pour certains $21/22$ $\leq \alpha$ $\geq (22/21) \alpha$ . Imaginons maintenant rembourrage une instancesorte qu'il devient un fractionune nouvelle instance, le reste dequi est exactement -satisfiable (dire qu'il est constitué de groupes d'articles de la forme ). Les chiffres sont maintenant $\alpha \geq 1/2$ $p$ $1/2$ $a \land \lnot a$ et . Ce dernier chiffre peut être aussi proche de que nous voulons. $1/2 + p (\alpha - 1/2)$ $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$ $1/2$

— Yuval Filmus
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Votre méthode fonctionne-t-elle lorsque ε est un nombre réel arbitraire (mais suffisamment petit)? Je ne peux pas comprendre comment choisir le nombre approprié de clauses à utiliser pour le remplissage, sauf si je suppose quelque chose à propos de ε. (Notez que ε ne fait pas partie de l'entrée, et donc il est bien défini de considérer le nombre réel ε.)

— Tsuyoshi Ito

Voilà où l'écart entre

et

pourrait être utile. En supposant que

est rationnel, prenez un

rationnel , et vous devriez bien faire.

1 / 2 + p (α - 1 / 2)

$1/2+p(\alpha-1/2)$

1 / 2 + p ((22 / 21) α - 1 / 2)

$1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$

α

$\alpha$

p

$p$

— Yuval Filmus

Aha, d'une manière ou d'une autre, je pensais que cette méthode ne fonctionnait pas lorsque je l'ai essayée en premier, mais maintenant je vois comment cela fonctionne. Merci!

— Tsuyoshi Ito

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Si vous savez que ε est un nombre rationnel, vous n'avez pas besoin d'inapproximabilité pour Max-2-SAT pour prouver votre déclaration. Une preuve typique de la dureté NP de Max-2-SAT (par exemple, celle du manuel Computational Complexity de Papadimitriou) prouve en fait l'exhaustivité NP de L _1/5 . Pour prouver la dureté NP de L _ε pour des nombres rationnels positifs ε <1/5, nous pouvons réduire L _1/5 à L _ε comme suit: étant donné une formule 2CNF φ (une instance pour L _1/5 ), soit m soit le nombre de clauses qu'il contient. Soit r ets être des entiers positifs tels que (1 / 5− ε ) mr = 2 ε s est vrai. Construisez ensuite une formule 2CNF (une instance de L _ε ) en répétant φ pour r fois et en ajoutant s paires de clauses contradictoires. Un calcul simple montre qu'il s'agit bien d'une réduction de L _1/5 à L _ε .

Cette réduction ne fonctionne clairement que si ε est rationnel, car sinon r et s ne peuvent pas être pris comme entiers. Le cas général où ε n'est pas nécessairement rationnel semble nécessiter une inapproximabilité, comme l'a écrit Yuval Filmus dans sa réponse.

— Tsuyoshi Ito
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