Quelles discrétisations spatiales fonctionnent pour un écoulement incompressible avec des mailles de frontière anisotropes?

Les flux à nombre élevé de Reynolds produisent des couches limites très minces. Si la résolution du mur est utilisée dans la simulation de grands tourbillons, le rapport d'aspect peut être de l'ordre de . De nombreuses méthodes deviennent instables dans ce régime car la constante inf-sup se dégrade en racine carrée du rapport d'aspect ou pire. La constante inf-sup est importante car elle affecte le nombre de conditions du système linéaire et les propriétés d'approximation de la solution discrète. En particulier, les limites a priori suivantes sur la retenue d'erreur discrète (Brezzi et Fortin 1991)$10^6$

$$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$$

où $\mu$ est la viscosité dynamique et $\beta$ est la constante inf-sup. De cela, nous voyons que lorsque $\beta \to 0$ , les approximations de vitesse et (surtout) de pression deviennent pires que les meilleures disponibles dans l'espace des éléments finis (c'est-à-dire que la constante d'optimalité de Galerkin croît avec $\beta^{-1}$ et $\beta^{-2}$ respectivement).

Quelles méthodes ont une stabilité inf-sup uniforme indépendamment du rapport d'aspect?

Lesquels peuvent être utilisés avec des mailles non structurées?

Comment les estimations se généralisent-elles en approximations d'ordre élevé?

Les schémas de différences finies MAC (Harlow et Welch 1965) sont uniformément stables, mais nécessitent des grilles structurées lisses et ne sont précis qu'au second ordre.

Les méthodes par éléments finis sont préférées pour les méthodes non structurées et d'ordre élevé. Pour les méthodes d'éléments finis de Galerkin en continu, aucun espace connu n'a des propriétés d'approximation optimales et n'est uniformément stable.

• $Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ a des propriétés d'approximation optimales et est localement conservateur, mais la constante inf-sup se dégrade en tant que racine carrée du rapport d'aspect. Voir Bernardi & Maday 1999 pour plus de détails.

• $Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ a une constante inf-sup indépendante du rapport d'aspect et est localement conservatrice, mais la constante inf-sup est échelonnée comme lorsque l'ordre polynomial est augmenté (Maday et al. 1992) sur des maillages de forme régulière. Sur les mailles avec des nœuds suspendus ou des coins rentrants, cette limite est nette en 2D (Schoetzau et al 1998), mais se dégrade encore en en 3D (Toselli & Schwab 2003).$\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$$k^{-3/2}$

• L' élément non conforme tourné de Rannacher & Turek 1994 est uniformément stable, a des propriétés d'approximation optimales et est localement conservateur, mais il ne satisfait pas l'inégalité discrète de Korn, il a donc besoin de corrections de limites pour certaines conditions aux limites et ne peut pas être utilisé pour écoulements à viscosité variable. Les travaux ultérieurs des auteurs ont permis de stabiliser ces méthodes en utilisant des flux de bord, mais les discrétisations résultantes perdent bon nombre des propriétés d'efficacité attrayantes.$Q_1-P_0$

• Ainsworth et Coggins 2000 construisent des espaces hautement techniques qui font un peu mieux, mais semblent d'une utilité limitée.

Pour Galerkin discontinu, l'image est un peu meilleure:

• L'espace discontinu est uniformément stable et possède des propriétés d'approximation optimales (Schoetzau, Schwab et Toselli 2004). Cette combinaison n'est pas disponible avec des espaces de vitesse continus. Cependant, la constante inf-sup dépend toujours du degré polynomial, avec une échelle comme .$Q_k-Q_{k-1}$$k^{-3/2}$