Alternatives à l'analyse de stabilité de von neumann pour les méthodes de différences finies

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Je travaille sur la résolution des équations de poroélasticité unidimensionnelles couplées (modèle de Biot), étant donné que:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial X^{2}} + \frac{\partial p}{\partial X} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial X}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial X^{2}}] = q (X, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ sur le domaine et avec les conditions aux limites:

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ à et à . $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

J'ai discrétisé ces équations en utilisant un schéma de différence finie centré:

(λ + 2 μ) \frac{u_{je + 1}^{t + 1} - 2 u_{je}^{t + 1} + u_{je - 1}^{t + 1}}{Δ X^{2}} + \frac{p_{je + 1}^{t + 1} - p_{je - 1}^{t + 1}}{2 Δ X} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Je travaille actuellement sur les détails de la convergence du schéma en analysant sa cohérence et sa stabilité. La partie cohérence me semble assez simple, mais je prévois déjà quelques difficultés avec l'analyse de stabilité. Tout d'abord, il y a deux variables et deux équations. Deuxièmement, il existe également un terme dérivé spatio-temporel mixte dans la deuxième équation. Je connais l'analyse de stabilité de von neumann et je peux voir qu'il sera très difficile d'établir la stabilité avec cette méthode. Existe-t-il des alternatives à l'analyse de von neumann que je peux utiliser?

— Paul
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Si vous ne vous sentez pas à l'aise de faire l'analyse avec un système d'équations, différenciez simplement la première équation par rapport à et la seconde par rapport à . Utilisez ensuite l'égalité des dérivées partielles mixtes pour éliminer .

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— David Ketcheson

@DavidKetcheson: Intéressant. En substance, vous suggérez que je pourrais réduire le système à une seule variable et effectuer l'analyse standard de von neumann sur sans aucune perte de généralité à ?

p

$p$

u

$u$

— Paul

C'est le même problème, que vous l'écriviez en tant que système ou PDE scalaire.

— David Ketcheson

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Si vous remplacez, au moins pour votre analyse, par , vous pouvez écrire votre système comme où toutes les constantes sont mises à et où l'indice fait référence à la discrétisation spatiale à la fois des variables et des opérateurs différentiels. Votre schéma est alors obtenu en approximant via Euler implicite. $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ je & je \end{matrix}] \frac{ré}{ré t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{X, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{X, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Maintenant, la structure différentielle-algébrique (DAE) est évidente. Pour les variables, il existe des équations différentielles (dans le temps) et algébriques.

Si vous pouvez montrer que est inversible, cf. cette préimpression [p. 3] et la modification ci-dessous, que le DAE est d' index 1 ou Euler -libre et implicite est connu pour être convergent, voir le Théorème 5.12 dans ce livre . (Avertissement: ce livre n'est pas disponible gratuitement et écrit par mon directeur de thèse) $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Avec cette approche, vous contournez peut-être l'analyse de stabilité.

Pour une preuve directe de la stabilité de , j'essaierais d'utiliser l'équation pour appliquer l'analyse de stabilité de von Neumann en utilisant les fonctions propres de et en étudiant l'effet de sur les fonctions propres. $L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

Cependant , si la stabilité ne peut pas être établie pour , cela ne signifie pas que votre schéma n'est pas convergent - à cause de la substitution de . D'une manière générale, on peut s'attendre à une stabilité pour les schémas se rapprochant des variables réelles, plutôt que pour les schémas se rapprochant de leurs dérivées. $(*)$ $u\leftarrow u_x$

ANNEXE: Un DAE est dit index 1 s'il peut être transformé en ODE sans différencier les équations.

Disons que le DAE est de la forme L'inversibilité de implique alors qu'il existe une variable transform qui permute éventuellement les colonnes des coefficients afin que avec inversible (propriété de rang complet de ) et inversible (le complément Schur).

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} {UNE}_{1} \\ {UNE}_{2} \end{matrix}] y = F .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

Pour le système cela signifie que la partie algébrique définie avec peut être utilisée pour résoudre une partie de . Ensuite, on peut éliminer de la partie différentielle (la deuxième ligne de bloc en ), pour obtenir un ODE pour les variables restantes. $(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— Jan
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C'est une technique très intéressante. J'ai regardé le document auquel vous avez fait référence et je suis curieux de savoir comment vous avez conclu que doit être inversible . Quel théorème avez-vous appliqué?

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ je & je \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

— Paul

@ Paul Je n'ai pas trouvé un théorème de référence, donc je vais insérer les arguments dans ma réponse ...

— Jan

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Je ne connais pas les équations données ici, mais je me souviens avoir appris une autre méthode pour vérifier la stabilité d'un schéma numérique dans mes cours. Elle est connue sous le nom d'analyse d'équation modifiée.

Voici une bonne référence pour cela,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

Dans la référence ci-dessus, le lien entre la théorie de la stabilité basée sur l'analyse d'équation modifiée et l'analyse de stabilité de Von Neumann est établi.

Après un peu de recherche en ligne, je suis tombé sur les références suivantes,

Cet article discute de la modélisation des différences finies des équations poroélastiques de Biot aux fréquences sismiques. Il contient également une section sur la stabilité du schéma numérique.

Cet article présente une stratégie de solution de découplage du système couplé et de vérification de la stabilité du schéma numérique.

— Subodh
source

Je n'ai pas effectué l'analyse d'équation modifiée sur les équations ci-dessus, mais comme la question demandait des alternatives à l'analyse de Von Neumann, j'ai écrit la réponse ci-dessus. Il est fort possible qu'il ne réponde pas à la question. Mais quelqu'un pourrait trouver les références énumérées utiles dans son travail.

— Subodh

Merci pour la référence! Je peux voir que le formulaire nécessaire dans votre article sur l'analyse des équations modifiées ne correspond pas tout à fait aux équations que j'utilise, mais c'est assez fascinant d'apprendre de nouvelles techniques d'analyse!

— Paul