Inconvénients des schémas de discrétisation courants pour les simulations CFD

L'autre jour, mon professeur de dynamique des fluides numérique était absent et il a envoyé son doctorant pour le remplacer. Dans la conférence qu'il a donnée, il a semblé indiquer plusieurs inconvénients associés à divers schémas de discrétisation pour les simulations d'écoulement de fluide:

Méthode des différences finies: il est difficile de satisfaire la conservation et d'appliquer des géométries irrégulières

Méthode du volume fini: elle a tendance à être biaisée vers les bords et la physique unidimensionnelle.

Méthode des éléments finis: Il est difficile de résoudre des équations hyperboliques en utilisant FEM.

Galerkin discontinu: c'est le meilleur (et le pire) de tous les mondes.

Fractionnement de fluctuation: Ils ne sont pas encore largement applicables.

Après la conférence, j'ai essayé de lui demander où il avait obtenu ces informations mais il n'a précisé aucune source. J'ai également essayé de lui faire clarifier ce qu'il voulait dire par DG étant "le meilleur et le pire des mondes", mais je n'ai pas pu obtenir de réponse claire. Je ne peux que supposer qu'il est parvenu à ces conclusions à partir de sa propre expérience.

D'après ma propre expérience, je ne peux que vérifier la première affirmation selon laquelle FDM est difficile à appliquer à des géométries irrégulières. Pour toutes les autres réclamations, je n'ai pas d'expérience suffisante pour les vérifier. Je suis curieux de savoir à quel point ces «inconvénients» revendiqués sont précis pour les simulations CFD en général.

Les caractéristiques proposées sont raisonnables en ce sens qu'elles représentent à peu près l'opinion populaire. Cette question a une portée énorme, je vais donc faire quelques observations maintenant. Je peux élaborer en réponse aux commentaires. Pour une discussion connexe plus détaillée, voir Quels sont les critères à choisir entre les différences finies et les éléments finis?

• Des méthodes de différences finies conservatrices d'ordre faible sont facilement disponibles pour les grilles non structurées. Les méthodes FD non oscillatoires d'ordre élevé sont une autre affaire. Dans les schémas WENO à différence finie, la physique apparaît dans un découpage de flux qui n'est pas disponible pour tous les solveurs Riemann.

• Les méthodes de volume fini fonctionnent bien dans plusieurs dimensions, mais pour aller au-delà du second ordre pour les structures d'écoulement générales, vous avez besoin de points de quadrature de face supplémentaires et / ou de résolutions de Riemann transversales, augmentant considérablement le coût par rapport aux méthodes FD. Cependant, ces méthodes FV peuvent être appliquées à des maillages non lisses et non structurés et peuvent utiliser des solveurs de Riemann arbitraires.

• Des méthodes d'éléments finis continues peuvent être utilisées pour la CFD, mais la stabilisation devient délicate. Il n'est généralement pas pratique d'avoir des méthodes strictement non oscillatoires et la stabilisation a souvent besoin d'informations supplémentaires comme l'entropie. Lorsque la matrice de masse cohérente est utilisée, le pas de temps explicite devient beaucoup plus cher. Les méthodes de Galerkin continues ne sont pas localement conservatrices, ce qui pose des problèmes pour les chocs violents. Voir aussi Pourquoi la conservation locale est-elle importante lors de la résolution des EDP?

• Les méthodes Galerkin discontinues peuvent utiliser n'importe quel solveur Riemann pour connecter des éléments. Ils ont de meilleures propriétés de stabilité non linéaires intrinsèques que les autres méthodes courantes. DG est également assez compliqué à mettre en œuvre et n'est généralement pas monotone à l'intérieur d'un élément. Il existe des limiteurs pour DG qui assurent la positivité ou un principe maximum.

• Il existe d'autres méthodes comme la différence spectrale (par exemple Wang et al 2007 ou Liang et al 2009 ) qui peuvent être très efficaces (comme la différence finie), tout en ayant plus de flexibilité géométrique et une précision d'ordre élevée.

Les flux à nombre élevé de Reynolds ont des couches limites minces, nécessitant des éléments hautement anisotropes pour être résolus efficacement. Pour les éléments incompressibles ou presque incompressibles, cela cause des problèmes importants pour de nombreuses discrétisations. Pour une discussion supplémentaire, principalement du point de vue des méthodes par éléments finis, voir Quelles discrétisations spatiales fonctionnent pour un écoulement incompressible avec des maillages de limite anisotropes?

Pour les problèmes réguliers, la capacité à utiliser efficacement le multigrille non linéaire (FAS) est intéressante. Les méthodes FD, FV et DG peuvent généralement utiliser FAS efficacement car, grosso modo,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

$h$

En bref pour DG:

Une conséquence de l'assouplissement des exigences de continuité à travers les frontières des éléments est que le nombre de variables dans DG-FEM est plus grand que pour l'équivalent continu pour le même nombre d'éléments.

En revanche du fait de la formulation locale (en termes d'éléments) nous avons les avantages suivants:

• Les termes non stationnaires et sources sont entièrement découplés entre les éléments. Les matrices de masse peuvent être inversées au niveau de l'élément.
• Parallélisation plus facile.
• Les raffinements adaptatifs (h-, p- et hp) sont simplifiés - il n'est pas nécessaire de renuméroter les nœuds globaux.