Existe-t-il un algorithme multigrille qui résout les problèmes de Neumann et a un taux de convergence indépendant du nombre de niveaux?

Les méthodes multigrilles résolvent généralement les problèmes de Dirichlet aux niveaux (par exemple, le point Jacobi ou Gauss-Seidel). Lors de l'utilisation de méthodes d'éléments finis continues, il est beaucoup moins coûteux d'assembler de petits problèmes de Neumann que d'assembler de petits problèmes de Dirichlet. Les méthodes de décomposition de domaine qui ne se chevauchent pas telles que BDDC (comme FETI-DP) peuvent être interprétées comme des méthodes multigrilles qui résolvent les problèmes de Neumann "épinglés" sur les niveaux. Malheureusement, le numéro de condition pour les échelles BDDC multiniveaux comme

C {(1 + Journal (\frac{H}{h}))}^{2 L}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

où est le nombre de niveaux et $L$ $H/h$ est le rapport de grossissement. En revanche, le numéro de condition pour les méthodes multigrilles avec des lisseurs basés sur des problèmes de Dirichlet a un numéro de condition indépendant du nombre de niveaux.

Existe-t-il un moyen de résoudre les problèmes "épinglés" de Neumann sans perdre l'indépendance de niveau?

pde multigrid

— Jed Brown
source

Remarque: il s'agit d'une question de recherche ouverte, publiée ici comme un défi, car il s'agit d'une préoccupation pratique qui semble être négligée par de nombreux analystes travaillant dans ce domaine.

— Jed Brown

Il est difficile de dire quel est exactement l'équivalent du bloc "Pinned Neumann" dans un contexte multigrille, du moins si vous vous attendez à ce qu'il joue le même rôle que dans le contexte DD. Pourriez-vous nous en dire plus sur les idées que vous pourriez avoir?

— Peter Brune

Je ne sais pas à quel point c'est différent du BDDC, et ce n'est pas analysé de manière très approfondie, mais cela semblait intéressant quand je l'ai lu auparavant:

Un solveur de Poisson multigrille parallèle pour la simulation de fluides sur de grandes grilles

— célion
source

Cet article utilise des méthodes de différences finies, pour lesquelles il est naturel de construire des problèmes locaux de Dirichlet. Ils utilisent un lisseur Jacobi amorti (problèmes de Dirichlet à point unique). Il est à faible mémoire (commun pour cette classe de méthodes) et utilise une interpolation de grille décalée (non typique). C'est peut-être un beau papier (je ne l'ai pas lu attentivement), mais cela n'a aucune conséquence pour cette question.

— Jed Brown