Comment déterminer si une solution numérique d'un PDE converge vers une solution de continuum?

Le théorème d'équivalence de Lax affirme que la cohérence et la stabilité d'un schéma numérique pour un problème de valeur initiale linéaire est une condition nécessaire et suffisante pour la convergence. Mais pour les problèmes non linéaires, les méthodes numériques peuvent converger de manière très plausible vers des résultats incorrects, bien qu'elles soient cohérentes et stables. Par exemple, cet article montre comment une méthode Godunov de premier ordre appliquée aux équations d'eau peu profonde linéarisées 1D converge vers une solution incorrecte.

De toute évidence, l'auto-convergence sous le raffinement du maillage et du pas de temps n'est pas suffisante, mais les solutions exactes ne sont généralement pas disponibles pour les PDE non linéaires, alors comment déterminer si une méthode numérique converge vers une véritable solution?

pde stability convergence

— Jed Brown
source

Les solutions dites de méthode de fabrication rendent disponibles des solutions exactes pour tous les problèmes. Il peut ne pas être en mesure de générer le type de solutions problématiques que vous décrivez, mais il n'est pas vrai que des solutions exactes ne soient jamais disponibles.

— Bill Barth

Je pense que c'est difficile ici car il faudrait deviner une solution avec le type de discontinuité qui n'est pas bien approché par la méthode de la solution.

— Matt Knepley

Je suis d'accord qu'il est probablement difficile de fabriquer des solutions qui excitent les modes problématiques mentionnés par Jed. Je voulais juste souligner que des solutions exactes sont toujours disponibles pour les tests. Je ne sais pas ce qui se passe si vous fabriquez une solution pour les équations d'eau peu profonde linéarisées 1D en utilisant, par exemple, un mélange de fonctions trigonométriques et exponentielles (typique des solutions exactes MoM), tournez la manivelle pour obtenir les termes sources correspondants et exécutez les à travers un schéma Godunov de premier ordre. Jed peut peut-être essayer et faire un rapport.

— Bill Barth

Le MoM est un excellent outil, mais dans ce cas, le problème est que la diffusion est mal appliquée à l'intérieur d'un choc. Partout ailleurs, la diffusion convergente vers zéro sur chaque équation est également acceptable, mais la diffusion ne converge pas vers zéro à l'intérieur d'un choc, donc l'application de la diffusion numérique à chaque terme entraîne également une dynamique incorrecte. J'écrirai une longue réponse à cette question quand j'en aurai le temps, si personne ne me bat dessus.

— Jed Brown

@Jed, LET ne devrait-il pas s'appliquer aux équations linéarisées?

— Matt Knepley

Réponses:

Il y a deux classes principales de solutions à discuter à cet égard.

Solutions lisses «suffisantes»

Dans l'article classique de Strang, il est montré que le théorème d'équivalence de Lax (c'est-à-dire l'idée que la cohérence et la stabilité impliquent la convergence) s'étend aux solutions PDE non linéaires si elles ont un certain nombre de dérivées continues . Notez que ce document est axé sur les problèmes hyperboliques, mais le résultat se répercute sur les problèmes paraboliques. Le nombre de dérivés nécessaires est un point technique, mais cette approche est généralement applicable aux solutions qui satisfont la PDE au sens fort.

Solutions discontinues

À l'autre extrême, nous avons des «solutions» PDE avec des discontinuités , qui résultent généralement de lois de conservation hyperboliques non linéaires . Dans cette situation, bien sûr, on ne peut pas dire que la solution satisfasse la PDE au sens fort, car elle n'est pas différenciable en un ou plusieurs points. Au lieu de cela, une notion de solution faible doit être introduite, ce qui revient essentiellement à exiger que la solution satisfasse à une loi de conservation intégrale.

Il est également plus difficile de prouver la convergence d'une séquence de solutions dans ce cas, car la stabilité de ne suffit pas; généralement, la séquence doit se trouver dans un espace compact, tel que l'ensemble de $L_p$ $L_\infty$ fonctions avec une variation totale maximale finie.

S'il peut être démontré que la séquence converge vers quelque chose, et si la méthode est conservatrice, alors le théorème de Lax-Wendroff garantit qu'elle convergera vers une solution faible de la loi de conservation. Cependant, ces solutions ne sont pas uniques . Déterminer quelle solution faible est "correcte" nécessite des informations qui ne sont pas contenues dans l'EDP hyperbolique. Généralement, les EDP hyperboliques sont obtenues en négligeant les termes paraboliques dans un modèle de continuum, et la solution faible correcte peut dépendre exactement des termes paraboliques qui ont été rejetés (ce dernier point est au centre de l'article lié à la question ci-dessus) ).

Il s'agit d'un sujet riche et complexe, et la théorie mathématique est loin d'être complète. La plupart des preuves de convergence concernent des problèmes 1D et reposent sur des techniques spécialisées. Ainsi, presque toutes les solutions informatiques réelles des lois de conservation hyperboliques dans la pratique ne peuvent pas être prouvées convergentes avec les outils existants. Pour une discussion pratique d'un point de vue informatique, voir le livre de LeVeque (chapitres 8, 12 et 15); pour un traitement plus rigoureux et détaillé, je suggère Dafermos .

— David Ketcheson
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Je n'ai pas grand-chose à apporter ici à part souligner que chaque fois que les méthodes numériques ont du mal avec les équations hyperboliques (et convergent vers la mauvaise solution), ce n'est généralement pas à cause des chocs. Au contraire, les zones avec lesquelles ils ont des difficultés sont des ondes de raréfaction - où la solution est fluide.

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$ , alors cette partie du domaine peut augmenter ou diminuer. Parce que la solution est généralement lisse dans ces zones (en fait, elle est généralement constante), les méthodes numériques n'ajoutent pas de diffusion artificielle dans ces zones et ne convergent donc pas vers une solution de viscosité.

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
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C'est un excellent point, bien qu'il soit orthogonal à la question au sens strict. Vous abordez la question de la convergence vers la bonne solution faible, qui est en effet plus problématique dans la pratique que la question de la convergence vers une solution faible.

— David Ketcheson