Théorème automatisé prouvant en logique linéaire

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La démonstration automatique de théorèmes et la recherche de preuves sont-elles plus faciles dans les logiques sous-structurelles linéaires et autres propositions qui manquent de contraction?

Où puis-je en savoir plus sur la démonstration automatique du théorème dans ces logiques et le rôle de la contraction dans la recherche de preuves?

— Anonyme
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D'autres ressources peuvent être trouvées référencées dans la thèse de Kaustuv Chaudhuri " La méthode inverse focalisée pour la logique linéaire ", et vous pourriez être intéressé par les " Calculs séquentiels sans contraction " de Roy Dyckhoff , qui traite de la contraction mais pas de la logique linéaire.

Il existe des opportunités pour une recherche de preuve efficace en logique linéaire, mais je ne pense pas que les travaux actuels indiquent qu'il est plus facile que la recherche de preuve en logique non-sous-structurelle. Le problème est que si vous voulez prouver en logique linéaire, vous avez une question supplémentaire que vous n'avez pas dans la recherche de preuve normale: est-il utilisé pour prouver ou est-il utilisé pour prouver ? En pratique, ce «non-déterminisme des ressources» est un gros problème pour effectuer une recherche de preuve en logique linéaire. $C \vdash(A \otimes B)$ $C$ $A$ $C$ $B$

D'après les commentaires, Lincoln et al 1990 " Decision problems for propositional linear logic " est une bonne référence si vous voulez obtenir des détails techniques sur des mots comme "plus facile".

— Rob Simmons
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La recherche de preuves en LL n'est-elle pas plus difficile que l'IL? ISTR, la logique propositionnelle classique est NP-complète, la logique propositionnelle intuitioniste est complète PSPACE et la logique linéaire intuitionniste (avec

) est indécidable.

! A

$!A$

— Neel Krishnaswami

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@Neel: Les exponentielles sont un dispositif pour réintégrer la contraction. De plus, les connecteurs additifs se comportent en interne comme s'ils avaient une contraction, vous ne voulez donc pas non plus. Ce qui vous reste est MLL, qui est en effet NP-complet (contrairement à la logique classique, qui n'est pas NP-complet comme vous l'avez dit, mais coNP-complet). En particulier, chaque tautologie MLL a une preuve de taille polynomiale. Cependant, cette preuve n'est pas facile à trouver de manière déterministe, comme l'explique Rob (ce qui est une bonne chose, car nous voulons que NP ne soit pas en temps sous-exponentiel.)

— Emil Jeřábek soutient Monica

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Vous faites tous deux remarquer que je parlais de manière très informelle de la raison pour laquelle la logique linéaire n'est "pas plus facile" - dans un sens formel, la recherche de preuve MALL est plus difficile, et la recherche de preuve de logique linéaire complète est encore plus difficile. La plupart, sinon la totalité, des résultats auxquels vous vous référez proviennent de Lincoln et al. Dans l'article de 1990 intitulé "Problèmes de décision pour la logique linéaire propositionnelle".

— Rob Simmons

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@Emil - Je n'avais jamais saisi cette différence intéressante entre MLL et la logique classique. MLL est NP parce qu'il est des témoins doivent être petits ... mais les preuves SEQUENT propositionnelle classique n'a pas besoin d' être polynomiale taille (et je suppose que ne peut pas, en général, soit

à la taille). Quel est le témoin polynôme pour Theres-pas Of--preuve-classique-séquent

?

c u t

$\it cut$

A

$A$

— Rob Simmons

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@Rob Simmons: une mission satisfaisante pour sa négation.

— Kaveh

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Non, c'est de plus en plus difficile.

Tout comme le problème de décision pour la logique propositionnelle intuitionniste est plus difficile que pour la logique propositionnelle classique, il en est de même pour la logique propositionnelle linéaire. Avec des exponentielles (qui ne manquent pas de contraction) ou diverses saveurs de connectivité non commutative, la logique devient indécidable et même le MALL classique faible est PSPACE complet. En revanche, le problème de décision pour la logique propositionnelle classique est co-NP complet, et pour la logique propositionnelle intuitionniste, PSPACE complet. (Offhand, je ne connais pas la complexité du centre commercial intuitionniste.)

Je recommande l'exposé de Pat Lincoln dans la section 6 de sa logique linéaire , SIGACT News 1992. Nous avons appris un peu plus depuis, c'est-à-dire que nous avons des résultats pour une grande famille de logiques linéaires, mais l'image de base est là.

D'une certaine manière, c'est ce qui rend la recherche de preuves de logique linéaire intéressante, car la dureté du problème de décision fait de la place à des notions de calcul plus intéressantes, et la logique linéaire est difficile à bien des égards. Andrej a souligné An Overview of Linear Logic Programming de Dale Miller ; c'est un bon endroit à regarder puisque Miller a fait plus pour développer l'idée de la recherche preuves aussi bien que n'importe qui d'autre.

— Charles Stewart
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@Kaveh: erreur de collecte plutôt que faute de frappe; fixé. Je devrais mentionner MLL.

— Charles Stewart

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En supposant que la complexité du problème de provabilité vous satisferait, le paysage des complexités des logiques sous-structurelles avec et sans contraction est quelque peu complexe. Je vais essayer d'examiner ici ce qui est connu pour la logique linéaire propositionnelle et la logique propositionnelle. La réponse courte est que la contraction aide parfois (par exemple LLC est décidable, tandis que LL ne l'est pas), et parfois non (par exemple MALL est PSPACE-complet, MALLC est ACKERMANN-complet).

Logiques propositionnelles

CL: logique classique
IL: logique intuitionniste
LL: logique linéaire, fragments MLL (multiplicatif), MELL (exponentiel multiplicatif), MALL (additif multiplicatif)
LLW: logique affine, ie LL avec affaiblissement, mêmes fragments que ci-dessus
LLC: logique linéaire contractive, ie LL avec contraction, mêmes fragments que ci-dessus
$_\to$ $_{\to,\wedge}$

Complexité de la prévisibilité

NP-complet: MLL [Kan91]
co-NP-complet: CL
PSPACE-complet: IL [Sta79], MALL [Lin92]
$_\to$
TOUR-complète: MELLW, LLW [Laz14]
$_{\to,\wedge}$
$\Sigma_1^0$

$_\to$

Les références

[Kan91] Max Kanovich, The fragment multiplicative of linear logic is NP-complete , Research Report X-91-13, Institute for Language, Logic, and Information, 1991.
[Laz14] Ranko Lazić et Sylvain Schmitz, Complexity Non-Elementary for Branching VASS, MELL, and Extensions , manuscrit, 2014. arXiv: 1401.6785 [cs.LO]
[Lin92] Patrick Lincoln, John Mitchell, Andre Scedrov et Natarajan Shankar, Problèmes de décision pour la logique linéaire propositionnelle , Annals of Pure and Applied Logic 56 (1–3): 239–311, 1992. 10.1016 / 0168-0072 (92) 90075-B
[Sch14] Sylvain Schmitz, Implicational Pertinence Logic is 2-ExpTime-complete , manuscript, 2014. arXiv: 1402.0705 [cs.LO]
[Sta79] Richard Statman, Intuitionistic propositionitional logic is polynomial-space complete , Theoretical Computer Science 9 (1): 67–72, 1979. doi: 10.1016 / 0304-3975 (79) 90006-9
[Urq84] Alasdair Urquhart, The Undecidability of Implailment and Relevant Implication , Journal of Symbolic Logic 49 (4): 1059–1073, 1984. doi: 10.2307 / 2274261
[Urq99] Alasdair Urquhart, La complexité des procédures de décision dans la logique de pertinence II , Journal of Symbolic Logic 64 (4): 1774-1802, 1999. 10.2307 / 2586811

— Sylvain
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Peut-être que l' aperçu de Dale Miller de la programmation logique linéaire est un bon point de départ?

— Andrej Bauer
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