Dureté d'approximation du nombre chromatique fractionnaire sur les graphiques de degrés bornés

Est-il difficile d'approcher le nombre chromatique fractionnaire sur des graphiques de degrés bornés?

Oui.

Si j'ai bien compris, la preuve du théorème 1.6 de Khot (2001) établit qu'il est difficile de faire la distinction entre les deux cas suivants, même si nous nous concentrons sur des graphiques à degrés bornés de degré suffisamment élevé:

1. Il y a une couleur .$k$
2. Le rapport du nombre de sommets à la taille maximale d'un ensemble indépendant est d'au moins .$k^{\log(k)/25}$

Du point de vue du nombre chromatique fractionnaire, ces deux cas sont:

1. Le nombre chromatique fractionnaire est au plus .$k$
2. Le nombre chromatique fractionnaire est d'au moins .$k^{\log(k)/25}$

Maintenant, nous devons nous rappeler que nous avons besoin de degrés suffisamment élevés (en fonction de ). Mais pour autant que je puisse voir, la preuve a, par exemple, le corollaire pratique suivant qui pourrait déjà être suffisant pour vos besoins:$k$

• Étant donné toute constante , il existe des constantes Δ et c telles que le problème suivant en NP-dur: étant donné un graphique G de degré maximal Δ , décidez si le nombre chromatique fractionnaire de G est au plus c ou au moins α c .$\alpha$$\Delta$$c$$G$$\Delta$$G$$c$$\alpha c$

Bien sûr, cela implique déjà qu'il n'y a pas de PTAS, sauf si P = NP.