Une catégorie a des sous - produits lorsque les mêmes objets sont à la fois les produits et coproduits. Quelqu'un a-t-il étudié la théorie de la preuve des catégories avec des biproduits?
L'exemple le plus connu est peut-être la catégorie des espaces vectoriels, dans laquelle la somme directe et les constructions de produits directs donnent le même espace vectoriel. Cela signifie que les espaces vectoriels et les cartes linéaires sont un modèle légèrement dégénéré de logique linéaire, et je suis curieux de savoir à quoi ressemblerait une théorie des types qui accepte cette dégénérescence.
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Peut-être Cockett & Seely? Peut-être Intro to Linear Bicategories, ou autre chose de math.mcgill.ca/~rags .
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Dave Clarke
Peut-être que le "bi-" dans les "bi-produits" est trompeur: ce n'est pas quelque chose de 2 catégorique, c'est juste ce qui se passe lorsque les mêmes objets sont à la fois des produits et des coproduits (plus quelques conditions de cohérence) dans les catégories ordinaires.
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Neel Krishnaswami
Peut-être leur article: FINITE SUM - PRODUCT LOGIC.
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Dave Clarke
Légèrement dégénéré? Je crois qu'identifier des produits et des coproduits implique d'identifier l'objet initial et terminal, qui sont généralement des types vides et singleton, interprétés respectivement comme un mensonge et une vérité triviaux. En logique linéaire, je pense que cela réduit toute la moitié additive de la logique à une opération auto-double avec une identité qui annihile les deux multiplications. D'un autre côté, le fragment multiplicatif a tendance à être la moitié la plus constructive de la logique linéaire, alors peut-être que cela mène à un endroit intéressant ...
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CA McCann
@camccann: Il y a des mathématiques en dehors de la logique. En algèbre commutative, l'objet initial et terminal sont généralement d'accord, ainsi que les coproduits et les produits. Par exemple, le groupe abélien trivial est à la fois initial et terminal. Un objet qui est à la fois initial et terminal est appelé un objet zéro. Jetez un œil aux catégories abéliennes pour avoir une idée de la façon dont tout cela fonctionne.
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Andrej Bauer