Étant donné un graphique, décidez si sa connectivité de bord est au moins n / 2 ou non

Le chapitre 1 du livre The Probabilistic Method, par Alon et Spencer mentionne le problème suivant:

Étant donné un graphique , décidez si sa connectivité de bord est au moins ou non. $G$ $n/2$

L'auteur mentionne l'existence d'un algorithme par Matula et l'améliore à . $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

Ma question est, quel est le temps d'exécution le plus connu pour ce problème?

Permettez-moi de décrire l'algorithme amélioré.

Tout d'abord, décidez si a son degré minimum d'au moins ou non. Sinon, la connectivité de périphérie est clairement inférieure à . $G$ $n/2$ $n/2$

Ensuite, si ce n'est pas le cas, alors calculez un ensemble dominant de de taille . Cela peut être fait dans le temps , par un algorithme décrit dans la section précédente du livre. $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

Ensuite, il utilise les éléments suivants pas très difficiles à prouver:

Si le degré minimum est , alors pour toute coupe d'arête de taille au plus qui divise en et , tout ensemble dominant de doit avoir ses sommets à la fois et . $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

Considérons maintenant l'ensemble dominant . Puisque a un degré minimum , toute coupe de bord de taille inférieure à doit également séparer . Ainsi pour chaque , nous trouvons la taille de la plus petite coupe de bord qui sépare et . Chacune de ces choses peut être effectuée dans le temps utilisant un algorithme de flux maximal. Le temps total pris est donc . $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Vinayak Pathak
source

Btw, bien sûr, une amélioration de l'algorithme max-flow entraînera également une amélioration ici. Mais je suppose que est le meilleur algorithme de flux maximal connu actuellement?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Vinayak Pathak

Peut-être que je me méprends sur quelque chose, mais l'algorithme de raccourci aléatoire de Karger-Stein n'a-t-il pas le temps d'exécution ?

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Est le temps d' exécution prévu? L'algorithme que j'ai décrit est complètement déterministe.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Vinayak Pathak

L'algorithme est Monte Carlo: il se termine toujours dans le temps et sort la coupure minimale avec une forte probabilité. Bien entendu, la probabilité de défaillance dépend inversement du temps de fonctionnement. Désolé, étant donné que votre citation est Alon-Spencer, je viens de supposer que l'algorithme est randomisé :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Si vous cherchez un algorithme déterministe, je pense que vous devriez le spécifier dans la question. Je ne connais pas d'algorithme déterministe meilleur que pour la coupe minimale (voir Stoer-Wagner pour un algorithme facile qui atteint ce temps de fonctionnement). Il est intéressant de voir combien nous pouvons faire de manière déterministe pour le problème que vous spécifiez (8/3 dans l'exposant semble contre nature pour une meilleure limite, mais qui sait).

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Sasho Nikolov

Vous pouvez facilement vérifier cela en temps linéaire, car un graphique a une connectivité de bord d'au moins si et seulement si son degré minimum est d'au moins . Vous avez déjà plaidé pour la partie «seulement si». Considérons maintenant un graphique où chaque sommet a un degré d'au moins et une coupe qui divise le graphique en deux ensembles de sommets et avec . Un sommet en peut avoir au plus connexions à d'autres sommets en , et doit donc contribuer au moins arêtes à la coupe. Ainsi, la coupe doit avoir une taille d'au moins . Reste à montrer que $n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ , ce qui est vrai puisque . $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

Curieusement, la seule référence que je trouve à ce résultat est celle d'une conférence de bioinformatique. Je serais vraiment curieux de voir si cela a été prouvé ailleurs.

Edit: Une référence antérieure est: Gary Chartrand: A Graph-Theoretic Approach to a Communications Problem , SIAM J. Appl. Math. 14-4 (1966), pp. 778-781.

— Falk Hüffner
source