Hiérarchie pour BPP vs dérandomisation

En une phrase: l'existence d'une hiérarchie pour impliquerait-elle des résultats de dérandomisation?$\mathsf{BPTIME}$

Une question connexe mais plus vague est: l'existence d'une hiérarchie pour implique-t-elle des limites inférieures difficiles? La résolution de ce problème heurte-t-elle une barrière connue dans la théorie de la complexité?$\mathsf{BPTIME}$

Ma motivation pour cette question est de comprendre la difficulté relative (par rapport à d' autres grands problèmes ouverts dans la théorie de la complexité) de montrer une hiérarchie pour . Je suppose que tout le monde croit qu'une telle hiérarchie existe, mais veuillez me corriger si vous pensez le contraire.$\mathsf{BPTIME}$

Quelques informations de base : contient les langues dont l'appartenance peut être décidée par une machine de tournage probabiliste dans le temps f ( n ) avec une probabilité d'erreur limitée. Plus précisément, un langage L ∈ B P T I M E ( f ( n ) ) s'il existe une machine de Turing probabiliste T telle que pour tout x ∈ L la machine $\mathsf{BPTIME}(f(n))$$f(n)$$L \in \mathsf{BPTIME}(f(n))$$T$$x \in L$$T$exécute en temps et accepte avec une probabilité d' au moins deux / trois , et pour tout x ∉ L , T fonctionne en temps O ( f ( | x | ) ) et rejette avec une probabilité d' au moins 2 / 3 .$O(f(|x|))$$2/3$$x \not \in L$$T$$O(f(|x|))$$2/3$

Inconditionnellement, il est ouvert que pour tout c > 1 . Barak a montré qu'il existe une hiérarchie stricte pour B P T I M E pour les machines avec O ( log n $\mathsf{BPTIME}(n^c) \subseteq \mathsf{BPTIME}(n)$$c > 1$$\mathsf{BPTIME}$$O(\log n)$Conseil. Fortnow et Santhanam ont amélioré cela à 1 bit de conseils. Cela m'amène à penser qu'une preuve de l'existence d'une hiérarchie temporelle probabiliste n'est pas si loin. En revanche, le résultat est toujours ouvert et je ne trouve aucun progrès après 2004. Les références, comme d'habitude, se trouvent dans le Zoo .

La relation à la dérandomisation provient des résultats d'Impagliazzo et Wigderson: ils ont montré que sous une hypothèse de complexité plausible, pour toute constante d et une constante c . D'après les théorèmes classiques de la hiérarchie du temps pour le temps déterministe, cela implique une hiérarchie du temps pour le temps probabiliste. Je pose la question inverse: une recherche probabiliste heurte-t-elle une barrière liée à la preuve des résultats de la dérandomisation?$\mathsf{BPTIME}(n^d) \subseteq \mathsf{DTIME}(n^c)$$d$$c$

Si quelqu'un a des observations sur ce qui nous sépare et prouve l'existence d'une hiérarchie pour le temps probabiliste, n'hésitez pas à répondre / commenter. Bien sûr, la réponse évidente est que a une définition sémantique qui défie les techniques classiques. Je suis intéressé par des observations moins évidentes.$\mathsf{BPTIME}$

Soit PTH l'hypothèse qu'il existe une hiérarchie temporelle probabiliste. Supposons que la réponse à votre question soit vraie, c'est-à-dire, "PTH implique " pour certains c fixes . Alors, E X P ≠ B P P serait inconditionnellement vrai. Considérons deux cas:$BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$$c$$EXP \neq BPP$

• Si PTH est faux, alors . C'est la contradiction de ce que Lance a noté.$EXP \neq BPP$
• Si PTH est vrai, "PTH implique " à nouveau E X P ≠ B P P .$BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$$EXP \neq BPP$

En fait, même une dérandomisation infiniment fréquente du BPP sous PTH entraînerait sans condition. Donc, quelles que soient les barrières qui s'appliquent à la preuve de E X P ≠ B P P , elles s'appliquent aux déclarations de preuve du type "PTH implique une dérandomisation".$EXP \neq BPP$$EXP \neq BPP$

Il n'est pas difficile de dériver une hiérarchie temporelle probabiliste si BPP = EXP, le cas extrême de non-dérandomisation.