Comment les modèles d'hypercomputation surmontent-ils le problème de l'arrêt?

L'hypercomputation fait référence à des modèles de calcul qu'il n'est pas possible de simuler à l'aide de machines de Turing. (Les hypercalculateurs ne sont pas nécessairement physiquement réalisables!) Certains hypercalculateurs ont accès à une ressource qui permet de résoudre le problème d'arrêt des machines Turing standard. Appelons cela une "superpuissance": un hypercalculateur avec une superpuissance peut décider si une machine Turing standard se termine.

Quels types de "superpuissances" les hypercalculateurs utilisent-ils?

La thèse d'Ed Blakey établit un cadre formel pour classer certains des principaux types de ressources utilisées en hypercalcul, mais elle n'essaie pas de fournir une étude complète des superpuissances. Je ne suis pas intéressé par une liste d'hypercalculateurs (il y a une belle liste dans l'article Wikipedia), mais par la compréhension de la "sauce spéciale" utilisée par chaque modèle, peut-être considérée comme une ressource unique.

Cette question est inspirée par À quel point l'indécidabilité est-elle fondamentale? . Aussi est liée Qu'est - ce que cela signifie pour réfuter la thèse de Church-Turing? ce qui a généré beaucoup de discussions intéressantes, et Existe-t-il des modèles de calcul actuellement à l'étude avec la possibilité d'être plus puissants que Turing Machines? .

Dans l'article sur la puissance de la multiplication dans les machines à accès aléatoire, Hartmanis a démontré que, si nous ajoutons l'instruction de multiplication du coût unitaire dans une RAM (appelée MRAM), alors pour ce modèle P = NP. De plus, les langues décidées en temps polynomial dans le modèle MRAM sont exactement les langues dans PSPACE.

Comme indiqué dans l'article, ces résultats montrent que la multiplication a la même complexité que l'addition si P = PSPACE.

Un résultat plus connexe dont j'ai entendu parler, est que si nous ajoutons une instruction de division avec une précision infinie dans une RAM, nous pouvons résoudre des problèmes indécidables. Cependant je n'ai pas pu trouver le papier qui prouve ce résultat. Si quelqu'un le connaît, veuillez commenter et je mettrai à jour la réponse.

Vous avez donc découvert que les MT ne peuvent pas résoudre tous les problèmes! La toute première étape que Turing a prise et qui est hautement logique (bien que non triviale si vous considérez l'état de l'informatique à cette époque) était des oracles.

De manière informelle, vous ajoutez à votre machine un nouveau module de boîte noire qui peut "en quelque sorte" résoudre le problème que votre machine ne peut pas, disons le problème d'arrêt. Bien sûr, les oracles ne sont qu'une abstraction mathématique et il n'y a pas de secret derrière leur fonctionnement intérieur. Personnellement, je ne vois aucun moyen d'utiliser un oracle pour découvrir un modèle qui réfute la thèse de Church-Turing.

• Manipuler le temps et l'espace

$NP$, les physiciens théoriciens pensent que ces conditions sont remplies près du bord des trous noirs. Pour ce faire, vous devez avoir la machine informatique très près du trou noir mais pas dans son horizon d'événements (afin qu'elle ne soit pas entraînée). Ensuite, vous plongez dans le trou noir et vous pouvez revoir l'intégralité de la chronologie infinie de votre machine en temps fini. Cela signifie probablement que vous êtes entraîné dans le trou noir, donc je suppose que cela ne sera pas mis en œuvre et testé même si nous pouvions atteindre un trou noir. Tout cela est informel, vous commencez à lire une approche physique plus théorique de l'article de wikipedia sur le Malament-Hogarth_spacetime . Une citation utile est également l'article La relativité générale permet-elle à un observateur de voir une éternité dans un temps fini?

• La machine de Zeno pourrait résoudre n'importe quel problème en 2 secondes, mais c'est une construction hypothétique mathématique, où chaque étape prend la moitié du temps qui la précède et la première prend 1 seconde. Il ne fournit pas de solution réelle que vous pourriez mettre en œuvre.

Il existe d'autres modèles que je connais, mais je pense qu'ils développent simplement les idées que j'ai présentées ici ou sont de simples constructions mathématiques, ils ressemblent donc plus à des "astuces soignées" qu'à quelque chose qui pourrait réfuter la thèse de Church-Turing.

Pas exactement ce que vous avez demandé, mais Scott Aaronson a un document, bien expliqué ici sur les machines Turing avec la capacité de voyager dans le temps, mais avec des exigences d'auto-cohérence (c'est-à-dire que vous ne pouvez pas revenir en arrière pour changer le passé. Vous pouvez observer l'avenir , mais il doit être cohérent avec le présent).