Que signifierait-il pour réfuter la thèse de Church-Turing?


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Désolé pour le titre accrocheur. Je veux comprendre, que doit-on faire pour réfuter la thèse de Church-Turing? Quelque part j'ai lu c'est mathématiquement impossible de le faire! Pourquoi?

Turing, Rosser, etc. ont utilisé différents termes pour distinguer entre "ce qui peut être calculé" et "ce qui peut être calculé par une machine de Turing".

La définition de Turing en 1939 à ce sujet est la suivante: "Nous utiliserons l'expression" fonction calculable "pour désigner une fonction calculable par une machine, et nous laisserons" effectivement calculable "faire référence à l'idée intuitive sans identification particulière avec aucune de ces définitions".

Ainsi, la thèse de Church-Turing peut être énoncée comme suit: Toute fonction effectivement calculable est une fonction calculable.

Encore une fois, à quoi ressemblera la preuve si l’on réfute cette conjecture?


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Consultez l'annexe dans cet excellent article (mais difficile à lire) de L. Levin arxiv.org/PS_cache/cs/pdf/0203/0203029v16.pdf
user2471 le

Réponses:


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La thèse de Church-Turing a été prouvée à toutes fins pratiques.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.146.5402

Dershowitz et Gurevich, Bulletin de la logique symbolique, 2008.

(Cette référence traite de l'histoire des travaux de Church et de Turing, et plaide en faveur d'une séparation entre "Thèse de l'Eglise" et "Thèse de Turing" en tant que revendications logiques distinctes, puis les prouve toutes les deux, dans le cadre d'une axiomatisation intuitive de la calculabilité.)


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Je suis un peu préoccupé par cette réponse. Cela peut donner aux gens l'impression erronée que la thèse de Church-Turing a été prouvée, alors que ce n'est pas le cas (et j'imagine que la plupart des gens pensent que cela ne peut pas être prouvé).
Emil

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Ce sera mon dernier commentaire ici, mais je pense que vous voudrez peut-être demander pourquoi un site comme celui-ci est nécessaire si tout ce que nous avons à faire est de consulter des manuels. Arora et Barak sont d'excellents chercheurs, mais ils ne sont ni des logiciens, ni des chercheurs en théorie de la complexité (ils ont néanmoins écrit un livre sur la complexité, même si ce n'était pas leur domaine de recherche principal), ni des experts en sémantique des langages de programmation (ce qui était à l'origine du projet. machines à états abstraits). La sagesse conventionnelle n'est pas nécessairement vraie et, en fin de compte, nous devons penser par nous-mêmes.
Aaron Sterling

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Si Dershowitz et Gurevich ont prouvé les thèses de Church et de Turing, ils ont également prouvé qu'à l'avenir, nous ne serions pas en mesure de construire un ordinateur effectuant une infinité d'étapes de calcul en temps fini, voir par exemple arxiv.org/abs/gr-qc/ 0104023 qui traite de telles possibilités.
Andrej Bauer

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Comme on le comprend normalement, la thèse de Church-Turing n'est pas une proposition formelle pouvant être prouvée. C'est une hypothèse scientifique, donc on peut la "réfuter" en ce sens qu'elle est falsifiable. Toute "preuve" doit fournir une définition de la calculabilité avec elle, et la preuve est seulement aussi bonne que cette définition. Je suis sûr que Dershowitz-Gurevich a une bonne preuve, mais le vrai problème est de savoir si la définition couvre vraiment tout ce qui est calculable. Répondre "peut-il être réfuté?" en disant "ça a été prouvé" est trompeur. Cela a été prouvé selon une définition raisonnable (falsifiable!) De la calculabilité.
Ryan Williams

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L'article de Dershowitz-Gurevich ne dit rien sur le calcul probabiliste ou quantique. Il écrit un ensemble d'axiomes sur le calcul et prouve la thèse de Church-Turing en assumant ces axiomes. Cependant, il nous reste à justifier ces axiomes. Ni les calculs probabilistes, ni les calculs quantiques ne sont couverts par ces axiomes (ils l'admettent pour le calcul probabiliste et ne mentionnent pas du tout le calcul quantique), il est donc clair pour moi que ces axiomes sont en réalité faux dans le monde réel, même si l'Église de Turing cette thèse est probablement vraie.
Peter Shor

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Il y a un point subtil que je vois rarement mentionné dans ce genre de discussions et qui mérite, à mon avis, plus d'attention.

ff

fff. OK, d'accord, mais supposons maintenant que nous construisions l'hypercalculateur et lui demandions si une machine de Turing cherchant une contradiction dans ZFC s'arrêterait un jour. Supposons en outre que l'hypercalculateur réponde "Non". Que concluons-nous? Est-ce que nous en concluons que l'hypercalculateur a "calculé" la cohérence de ZFC? Comment pouvons-nous exclure la possibilité que ZFC soit réellement incohérent et que nous venons de réaliser une expérience qui a falsifié notre théorie physique?

Une caractéristique cruciale de la définition de Turing est que ses hypothèses philosophiques sont très faibles. Il suppose, comme il se doit bien sûr, certaines caractéristiques simples de notre expérience quotidienne, telles que la stabilité fondamentale du monde physique et la capacité d'effectuer des opérations finies de manière fiable, répétable et vérifiable. Tout le monde accepte ces choses (en dehors d'une classe de philosophie, c'est-à-dire!). L’acceptation d’un hypercalculateur semble cependant nous obliger à accepter une extrapolation infinied'une théorie physique, et toute notre expérience en physique nous a appris à ne pas être dogmatique sur la validité d'une théorie dans un régime bien au-delà de ce que nous pouvons vérifier expérimentalement. Pour cette raison, il me semble très improbable qu'un consensus trop vaste aboutisse à l'idée qu'un hypercalculateur spécifique est un simple calcul plutôt qu'un calcul hypercalculable , c.-à-d. hypothèses physiques sur les extrapolations infinies.

Une autre façon de le dire est que pour réfuter la thèse de Church-Turing, il faudrait non seulement construire le dispositif décrit par Andrej, mais aussi prouver à la satisfaction de tous que le dispositif fonctionne comme prévu. Bien que cela ne soit pas inconcevable, ceci est un défi de taille. Pour les ordinateurs actuels, la nature finitaire du calcul signifie que si je ne crois pas au résultat du "calcul" d'un ordinateur particulier, je peux en principe effectuer une séquence finie d'étapes d'une manière totalement différente pour vérifier le résultat. Ce type de "recours" au sens commun et à la vérification finie n'est pas disponible si nous avons des doutes sur un hypercalculateur.


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Tim, il est clair que la thèse de Church-Turing peut être réfutée par la démonstration réussie d'un modèle de calcul efficace qui transcende la portée commune des modèles équivalents identifiés par Church et Turing. On peut dire à quel point cela pourrait être inconcevable, mais je crois que c'est toujours ce qu'il faudrait. (Notez que j'évite "prouver" et "réfuter" dans ce contexte.)
orcmid

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22250

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@Neel: Au contraire, ce que je veux dire, c'est précisément qu'il est parfaitement raisonnable de douter de la physique de fantaisie qui sous-tend un ordinateur, qu'il s'agisse d'un ordinateur existant ou d'un hypercalculateur du futur. Une des principales raisons pour lesquelles nous tolérons les ordinateurs actuels est qu’ils sont chargés de calculs finis que nous pouvons en principe imiter sans une physique sophistiquée. Mais construisez un hypercalculateur dont la correction repose essentiellement sur l’extrapolation infinie des théories physiques au-delà de régimes accessibles expérimentalement, et nous n’avons aucun moyen de savoir si le calcul est correct ou si nos théories ont mal tourné.
Timothy Chow

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@orcmid: la physique doit entrer quelque part dans l'image; sinon qu'est-ce qui nous empêche de déclarer que toutes les fonctions sont calculables? Pour mériter ce nom, un "calcul" doit être quelque chose que nous pouvons envisager de réaliser. C'est pourquoi les propositions concernant les hypercalculateurs s'efforcent d'expliquer comment elles pourraient être construites physiquement. Mon idée est que nous devrions pousser plus loin l'expérience de pensée: face à un prétendu hypercalculateur, comment saurions-nous qu'il fonctionne vraiment comme annoncé? Si nous ne pouvions pas le savoir, alors serait-il vraiment légitime de qualifier ses résultats de "calculs"?
Timothy Chow

1
C’est intéressant, nous ne pouvons peut-être pas savoir vraiment que la machine est en train de fonctionner, car nous sommes tout simplement complets. Peut-être faudrait-il un observateur hypercalculateur pour vérifier qu'un objet hypercalculateur est effectivement hypercalculateur oO
guillefix

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Bien qu'il semble assez difficile de prouver la thèse de Church-Turing en raison de la nature informelle de "fonction effectivement calculable", nous pouvons imaginer ce que cela signifierait de la réfuter. À savoir, si quelqu'un construisait un appareil qui calculait (de manière fiable) une fonction qui ne pouvait être calculée par aucune machine de Turing, cela réfuterait la thèse de Church-Turing, car il établirait l'existence d'une fonction effectivement calculable qui ne serait pas calculable par une machine de Turing.


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En quel sens il faut "construire" la machine? Nous vivons dans un monde fini qui ne peut contenir que des ordinateurs strictement plus faibles que les machines de Turing. Peut-être doit-il plutôt inventer une nouvelle caractérisation logique attrayante de manière intuitive? Comment ça peut être?
Vag

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Et notre univers est de plus en plus restreint par rapport aux machines finies théoriques du fait de la limitation masse / énergie par constante du concret et par limite Bremmermann pespmc1.vub.ac.be/ASC/Bremer_limit.html . ne peut pas (problèmes transcomputationnels).
Vag

2
Bien entendu, il serait nécessaire pour un être humain de pouvoir simuler la machine afin de réfuter la thèse originale de Turing qui identifie une calculabilité efficace avec une calculabilité humaine.
Carl Mummert

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Le fait de réfuter la thèse de Church-Turing semble en effet extrêmement improbable et conceptuellement très difficile à imaginer. Il existe divers "mondes physiques hypothétiques" qui sont en quelque sorte en contradiction avec la thèse de Church-Turing (mais leur contradiction est en soi une question philosophique intéressante). Un article de Pitowsky " La thèse de l'Église physique et sa complexité physique", Iyun 39, 81-99 (1990) traite de tels mondes physiques hypothétiques. Voir également le document d'Itamar Pitowsky et Oron Shagrir: " La thèse de l'Église de Turing et l'hyper calcul ", Minds and Machines 13, 87-101 (2003). Oron Shagrir a écrit plusieurs articles philosophiques sur la thèse de Church-Turing, voir sa page Web . (Voir aussi cet article de blog .)

La thèse efficace ou efficiente de Church-Turing est une affirmation infiniment plus forte que l'affirmation originale de Church-Turing qui affirme que tous les calculs possibles peuvent être simulés efficacement par une machine de Turing. Les ordinateurs quantiques montreront en effet que la thèse efficace de Church-Turing est invalide (modulo certaines conjectures mathématiques de complexité de calcul, et modulo "l'interprétation asymptotique"). Je pense que la conjecture efficace entre Church et Turing a été formulée pour la première fois en 1985 par Wolfram. Le document est cité dans le document de Pitowsky dont le lien est cité ci-dessus. En fait, vous n'avez même pas besoin d'ordinateurs quantiques universels pour réfuter la thèse de la tomodensitométrie efficace, et il est intéressant de noter que les recherches (qu'Aaronson entre autres) proposent de démontrer le plus simplement possible la supériorité informatique des systèmes quantiques.

C'est également un problème intéressant s'il existe des moyens plus simples de démontrer la supériorité informatique des ordinateurs quantiques en présence de bruit, plutôt que d'avoir une tolérance de panne quantique à part entière (qui permet un calcul quantique universel). (Scott A. s’intéresse également à ce problème.)


Je pensais que les machines de Turing pourraient simuler des ordinateurs quantiques? (Avec une grande perte d'efficacité bien sûr.) (Edit: ah, j'ai remarqué que vous avez dit la "thèse de CT efficace" - est-ce la thèse selon laquelle les MT peuvent simuler efficacement n'importe quel dispositif de calcul?)
Emil

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Je pense que Gil parle de la thèse "étendue" de Church-Turing (qu'il appelle la thèse "efficace" de Church-Turing) selon laquelle tout ce qui est effectivement calculable dans la nature est également calculable sur une machine de Turing à plusieurs temps.
Ryan Williams

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J'ai ajouté une phrase pour le clarifier.
Gil Kalai

Gil, merci pour cet article! Pour exprimer le point de vue de l’ingénierie des systèmes quantiques, nous, êtres humains, existons dans un univers bruyant dans lequel (sans correction d’erreur) le TCE est empiriquement vrai - en ce sens que des processus dynamiques quantiques peuvent être efficacement simulés - via des formalismes dans lesquels La superposition quantique (effectivement) est une approximation locale, dans le même sens que la géométrie euclidienne est une approximation locale de la géométrie riemannienne. La nature embrasse-t-elle des flux quantiques similaires, afin de se calculer efficacement? C'est une question ouverte ... et une très intéressante IMHO.
John Sidles

Inspiré par le post de Gil et par celui de Timothy Chow (ci-dessous), j'ai promu le commentaire ci-dessus en une question formelle du TCS: "Quel est le rôle approprié de la validation dans l'échantillonnage quantique, la simulation et le test Eglise-Turing étendue? " Merci Gil et Timothy.
John Sidles

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D'après ce que j'ai compris, "l'impossibilité" de prouver ou de réfuter la thèse est qu'il n'existe pas de définition formelle de "effectivement calculable". Aujourd'hui, nous le prenons pour être précisément "calculable par une machine de Turing", mais cela pose plutôt la question.

Des modèles de calcul strictement plus puissants qu'une machine de Turing ont été étudiés. Vous trouverez quelques exemples dans http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomputation . Ou prenez simplement une machine de Turing avec un oracle pour résoudre le problème de l’arrêt des machines de Turing. Une telle machine aura son propre problème d’arrêt, mais elle peut résoudre le problème d’arrêt initial. Bien sûr, nous n’avons pas un tel oracle, mais l’idée n’est mathématiquement pas impossible.


Merci d'avoir répondu. Donc, proposer une fonction mathématiquement réalisable (mais pas physiquement) par un modèle mais pas par une machine de Turing ne contredit-elle pas la thèse?

1
Dershowitz et Gurevich 2008 axiomatisent "effectivement calculable" en utilisant des machines à états abstraits.
Aaron Sterling

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Donc, ils définissent un autre modèle de calcul et le prouvent comme équivalent au modèle existant, n'est-ce pas? Pourquoi ce modèle de calcul est-il plus fiable que les modèles existants?
Blaisorblade

Nous pourrions utiliser la puissance humaine comme un oracle, en mettant au point une preuve formelle de la (non) résiliation. Mauvaise exécution, cependant ...
Raphael

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Les preuves de l'hypercalculement supposent généralement la validité de la borne de Bekenstein, qui impose une limite particulière à la quantité d'informations pouvant être contenues dans une quantité finie d'espace. Il y a une controverse à ce sujet, mais je pense que la plupart des physiciens l'acceptent.

Si la liaison de Bekenstein est violée, et qu’il n’ya pas de limite à la quantité d’informations contenues dans une région donnée (disons un trou noir ou une gravure infiniment fine et robuste), et qu’il existe des mécanismes pouvant être arbitrairement raffinés pour examiner le contenu de cette région. région (par exemple, en examinant avec soin le rayonnement émis lorsqu'un objet soigneusement construit tombe dans le trou noir, ou en passant un stylet sur les rainures de la gravure), on peut supposer qu’un artefact existe déjà qui code pour un oracle à l’arrêt .

Tout cela est très peu probable, mais cela montre que l'affirmation selon laquelle l'hypercalcul est impossible n'est pas une vérité mathématique, mais repose sur la physique. Cela revient à dire qu'Andrej a raison lorsqu'il dit que nous pouvons imaginer ce que signifierait réfuter [la thèse de Church-Turing]. À savoir, si quelqu'un construisait un appareil qui calculait (de manière fiable) une fonction qui ne pouvait être calculée par aucune machine de Turing .


Le lien de Bekenstein peut encore tenir mais l'hypercalcul pourrait encore être possible.
András Salamon

@ András: En principe, oui: nous avons besoin de beaucoup plus de théorie physique pour obtenir un argument négatif. Mais les tentatives de "décrire" les machines hypercalculatrices que j'ai vu toutes le violent.
Charles Stewart

Celles comportant des boucles fermées proches de trous noirs violent-elles la limite?
András Salamon

@ András: Je ne sais pas de quoi vous parlez. La théorie des cordes est généralement compatible avec la borne de Bekenstein.
Charles Stewart

Je parle de choses comme arxiv.org/abs/gr-qc/0209061 qui, au lieu de s’appuyer sur la théorie des cordes, "suppose" que l’on puisse envoyer des calculs dans le passé.
András Salamon

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En ce qui concerne la thèse de Church-Turing étendue («une machine de Turing probabiliste peut simuler efficacement toute fonction physiquement calculable»):

Une possibilité est la différence entre les ordinateurs classiques et quantiques. Plus précisément, la question "Existe-t-il une tâche que les ordinateurs quantiques peuvent effectuer que les ordinateurs classiques ne peuvent pas?" Un rapport récent de Scott Aaronson aux ECCC (voir la conjecture 9 à la page 5) met en lumière une conjecture qui, si elle était prouvée, fournirait une preuve solide contre la thèse de Church-Turing étendue.

Si l’on réfutait la thèse de l’église étendue-Turing, elle pourrait ressembler à cela - en particulier, en démontrant une tâche effectivement calculable qu’une machine de Turing (classique) ne peut pas calculer efficacement.


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Pour clarifier, le calcul quantique ne remet en cause que la thèse de Turing Church Efficient / Extended / Strong, selon laquelle tous les modèles de calcul réalisables peuvent être simulés sur une machine de Turing en temps polynomial. La thèse normale de Church-Turing n'impose aucune restriction à l'efficacité. Les ordinateurs quantiques n'ont aucun espoir de renverser cette version car une machine de Turing peut simplement simuler toutes les branches exponentiellement d'un calcul quantique en temps fini.
Ian

Oui, merci pour cela - j'ai corrigé mon utilisation bâclée des deux termes.
Daniel Apon

Hmmm ... mais selon les définitions standard, l'ECT ​​n'a-t-il pas déjà été définitivement réfuté? Alice: "Voici un échantillon de chiffres binaires vraiment aléatoires calculés par mon réseau optique quantique (à un mode)". Bob: "Voici un échantillon de chiffres pseudo-aléatoires calculés par une machine de Turing classique." Alice: "Désolé Bob ... ton échantillon est compressible par algorithme, et le mien ne l'est pas. Par conséquent, mes données démontrent que l'ECT ​​est faux!" Formellement parlant, le raisonnement d'Alice est impeccable. Pourtant, en l'absence de test de validation des revendications d'Alice, devrions-nous être satisfaits?
John Sidles


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Les articles suivants de Selim Akl peuvent présenter un intérêt et être pertinents pour la discussion:

Akl, SG, "Trois contre-exemples pour dissiper le mythe de l'ordinateur universel", Parallel Processing Letters, Vol. 16, n ° 3, septembre 2006, p. 381 - 403.

Akl, SG, "Même les machines accélératrices ne sont pas universelles", Revue internationale de l'informatique non conventionnelle, vol. 3, n ° 2, 2007, p. 105 - 121.

Nagy, M. et Akl, SG, "Le parallélisme dans le traitement de l'information quantique met en échec l'ordinateur universel", Parallel Processing Letters, Numéro spécial sur les problèmes de calcul non conventionnels, vol. 17, n ° 3, septembre 2007, p. 233 - 262.

Voici le résumé du premier:

Il est démontré que le concept d'un ordinateur universel ne peut pas être réalisé. Plus précisément, les instances d'une fonction calculable F sont exposées et ne peuvent pas être calculées sur une machine U uniquement capable d'effectuer un nombre d'opérations fini et fixe par étape. Cela reste vrai même si la machine U est dotée d'une mémoire infinie et de la capacité de communiquer avec le monde extérieur pendant qu'elle tente de calculer F. Elle reste également vraie si, en outre, U dispose d'un délai de calcul indéfini. F. Ce résultat s’applique non seulement aux modèles de calcul idéalisés, tels que la machine de Turing, etc., mais également à tous les ordinateurs polyvalents connus, y compris les ordinateurs classiques existants (à la fois séquentiels et parallèles), ainsi qu’aux ordinateurs non conventionnels tels comme ordinateurs biologiques et quantiques.


Pouvez-vous fournir un lien vers le premier document qui ne se trouve pas derrière un paywall? Quelle est leur définition de "fonction calculable?" Selon la définition standard (une machine de Turing calcule la fonction), leur affirmation est fausse par définition ...
Christopher Monsanto,

Je viens de vous envoyer le papier par email.
Massimo Cafaro

Voici l'un de ces documents: research.cs.queensu.ca/home/akl/techreports/even.pdf . Plus ici: research.cs.queensu.ca/Parallel/projects.html . Il n'y a pas de définition réelle d'un "ordinateur" dans le document, juste une description ondulante. On peut supposer que cette description à la main peut être formalisée avec un peu de travail, en utilisant le modèle de machine de Turing ou quelque chose de similaire comme base.
Sasho Nikolov

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Sasho Nikolov

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Comment cela peut-il être vrai? Un ordinateur classique ne peut pas simuler efficacement un ordinateur quantique. Il existe des algorithmes quantiques qui fournissent une vitesse exponentielle par rapport aux ordinateurs classiques exécutant des algorithmes classiques: l'algorithme de Shor en est un.


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1) Il peut exister un algorithme de factorisation polytime classique. Nous n'en connaissons pas un, mais son existence est tout à fait compatible avec la théorie de l'état de complexité. 2) La thèse originale de Church-Turing porte sur la calculabilité, non sur la calculabilité efficace .
Sasho Nikolov
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