Classification des calculs lambda typés / non typés

Quelqu'un peut-il expliquer brièvement (si c'est possible!) Ou me renvoyer à une référence, résumant les différences entre le calcul lambda non typé et les calculs lambda typés plus courants?

Je recherche en particulier des énoncés de leur puissance expressive, des équivalences avec des systèmes logiques / arithmétiques ou des méthodes de calcul, et des analogies avec les langages de programmation, le cas échéant.

Bien que j'aie certainement l'intention de lire, quelque chose comme un tableau de référence décrivant les calculs et leurs équivalences / différences / place dans la hiérarchie serait une référence ÉNORME pour m'aider à les trier.

Ne pas dire que ce qui suit est correct, juste essayer d'esquisser ensemble certaines des impressions que je dois voir si elles servent au moins de point de départ (ou quelque chose à corriger!)

Calcul lambda non typé - éq. à la logique du premier ordre - ne peut pas faire X

Calcul lambda simplement tapé - égal à ... logique, lié à Lisp?

Calc lambda 'polymorphe' - etc.

Calcul des constructions - logique intutionniste?

Logique combinatoire - comparable à ??? calcul lambda typé, lié aux types de langages APL / J

Si cela rejoint le cube lambda et ses trois axes, tant mieux.

Bien que je sois familier avec les bases du calcul lambda et de la programmation avec des langages fonctionnels, je n'ai jamais tourné la tête ou établi de liens significatifs avec les systèmes de types impliqués et les différentes saveurs des calculs lambda (et peut-être pi?).

Lorsque j'essaie de rechercher cela, je ne peux pas aider, mais je me retrouve distrait, ouvrant de nombreux onglets de navigateur et se ramifiant dans tant de directions que je n'entre jamais dans aucun d'entre eux avec une profondeur!

Je ne sais pas si ce que je demande est raisonnable, mais j'espère au moins avoir suffisamment peint une image pour suggérer une lecture qui peut expliquer ce que je cherche?

Votre table est un peu confuse; en voici une meilleure.

• Calcul lambda non typé - pas d'interprétation logique, comme le note Andrej
• Calcul lambda simplement tapé - logique propositionnelle intuitionniste
• Calcul lambda polymorphe - logique pure du second ordre (c'est-à-dire sans quantificateurs du premier ordre)
• Types dépendants - généralisation de la logique du premier ordre
• Calcul des constructions - généralisation de la logique d'ordre supérieur

La dépendance de type est plus générale que la quantification de premier ordre, car elle transforme les preuves en objets sur lesquels vous pouvez quantifier. Il existe des calculs lambda correspondant aux FOL intuitionnistes ordinaires, mais ils ne sont pas assez largement utilisés pour avoir un nom spécial - les gens ont tendance à aller directement aux types dépendants.

Vous pouvez également associer la forme syntaxique d'un calcul à des systèmes logiques.

• Calculs de combinateurs (par exemple, combinateurs SKI) - systèmes de style Hilbert
• Forme A-normale - calcul séquentiel
• Calcul lambda typé ordinaire - déduction naturelle

$\lambda$$\lambda$$\lambda$nat$\lambda$$0$$T$ . Il calcule uniquement les fonctions récursives primitives (et elles sont toutes totales).

$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$$\lambda$Ulambda : U -> (U -> U)gamma : (U -> U) -> U$\lambda$$\mathbb{U}$$\lambda$$\mathcal{C}$(si ma mémoire est bonne, c'est la division idempotente de ), telle que la$\mathbb{U}$$\mathbb{U}$$[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$$\mathbb{U} \cong \mathbb{U}^{\mathbb{U}}$

Les références:

• Dana S. Scott: « Lambda Calculus: Some Models, Some Philosophy », Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 101, 1980, Pages 223-265, The Kleene Symposium

• Hendrik Pieter Barendregt: " Le lambda calcul: sa syntaxe et sa sémantique ", Elsevier, 1984.

Une discussion assez complète de ce genre de choses peut être trouvée dans ce livre: Lectures on the Curry-Howard Isomorphism . Ceci est basé sur l'ancienne version disponible gratuitement: Lectures on the Curry-Howard Isomorphism .