Fonction efficacement calculable en tant que contre-exemple à la conjecture de Mobius de Sarnak

Récemment, Gil Kalai et Dick Lipton ont tous deux écrit un bel article sur une hypothèse intéressante proposée par Peter Sarnak, expert en théorie des nombres et Hypothèse de Riemann.

Conjecture. Soit la fonction de Möbius . Supposons que soit une fonction avec entrée sous la forme d'une représentation binaire de , puis $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\underset{k \leq n}{Σ} μ (k) \cdot F (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

Notez que si alors nous avons une forme équivalente du théorʻeme des nombres premiers . $f(k) = 1$

MISE À JOUR : Ben Green de MathOverflow fournit un court article qui prétend prouver la conjecture. Regardez le papier .

D'autre part, nous savons qu'en définissant $f(k) = \mu(k)$ (avec une légère modification pour que la plage soit dans $\\{-1,1\\}$ ), la somme résultante a l'estimation

\underset{k \leq n}{Σ} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$ Il y a une limite supérieure que

μ (k)

$\mu(k)$ peut être calculée dans

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$ , donc la contrainte proposée sur

f (k)

$f(k)$ dans la conjecture ne peut pas être assoupli à une fonction

N P

$\mathsf{NP}$ . Ma question est:

Quelle est la classe de complexité la plus basse $\mathsf{C}$ nous connaissons actuellement, telle qu'une fonction $f(k)$ dans $\mathsf{C}$ vérifie l'estimation
$\underset{k \leq n}{Σ} μ (k) \cdot F (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ en particulier, étant donné que certains des théoriciens croyait que l' informatique $\mu(k)$ ne sont pas dans $\mathsf{P}$ , pouvons - nous fournir d' autres $\mathsf{P}$ fonctions $f(k)$ qui implique une croissance linéaire de la somme? Peut-on encore obtenir de meilleures limites?

— Hsien-Chih Chang 之
source

Une classe quantique telle que P ^ {BQNC} devrait aussi fonctionner, car la factorisation est dans cette classe.

— Robin Kothari

Est-ce même connu si pour un fixe ?

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

— Manu

@ Emmanuel, bonne question. La fonction indicatrice du i-ème bit dans la représentation binaire de k est un "polynôme de parenthèse" linéaire, mais il a des coefficients très élevés, de sorte qu'il pourrait ne pas suivre le théorème de Green-Tao sur la corrélation de la fonction de Mobius avec borné -nepse nilsequences. Les séquences nil à pas bornés ont des polynômes de parenthèse aux degrés bornés comme cas spéciaux, mais leur résultat peut comporter certaines restrictions quant à la magnitude des coefficients

— Luca Trevisan le

Et est-il connu pour ?

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

— Domotorp

Voulez-vous une fonction avec la plage ou ou autre chose?

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— Jukka Suomela

Des développements intéressants ont eu lieu sur ce problème, mais le remplacement de par ACC (2) (autorisant notamment les portes du mod 2) est toujours hors de portée. Certains progrès au-delà du théorème de Ben Green peuvent être trouvés dans cette question MO https://mathoverflow.net/questions/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function ainsi que celle-ci https://mathoverflow.net / questions / 97261 / mobius-randomness-of-the-rudin-shapiro-sequence . De plus, Jean Bourgain a prouvé le caractère aléatoire de Mobius pour chaque fonction monotone (en termes de développement à deux chiffres). $AC^0$ $f$

— Gil Kalai
source