Preuves obtenues uniquement par la théorie des graphes spectraux

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Je m'intéresse de plus en plus à la théorie des graphes spectraux, que je trouve fascinante, et j'ai commencé à rassembler quelques documents que je n'ai pas encore lus plus attentivement que ce que j'ai jusqu'à présent.

Cependant, je suis curieux d'une déclaration apparue dans plusieurs sources (par exemple là-bas ), qui dit essentiellement que certains résultats de la théorie des graphes ont été prouvés en utilisant uniquement des techniques basées sur le spectre, et que jusqu'à présent, aucune preuve que contourne ces techniques est connu.

À moins que j'aie sauté cela, je ne me souviens pas avoir vu un tel exemple dans la littérature que j'ai lue jusqu'à présent. L'un d'entre vous connaît-il des exemples de tels résultats?

— Anthony Labarre
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Le titre de la question suggère que vous demandez des preuves qui ne peuvent être obtenues qu'en utilisant la théorie des graphes spectraux, mais vous demandez des preuves qui jusqu'à présent n'ont été obtenues que par la théorie des graphes spectraux. Ce sont deux questions totalement différentes. En l'état, le titre est trompeur, c'est pourquoi je l'ai changé.

— Dave Clarke

@Dave J'ai fait un retour en arrière

— Suresh Venkat

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Le chapitre 7 de Spectra of Graphs de Cvetković, Doob et Sachs donne de nombreux exemples de théorèmes dont les déclarations ne font aucune mention explicite des spectres mais qui sont prouvables en utilisant des techniques spectrales. Je suppose que beaucoup d'entre eux n'ont pas de preuve non spectrale connue, bien que vous deviez le vérifier au cas par cas. Certes, dans de nombreux cas, la preuve la plus simple ou la plus naturelle utilise des spectres.

— Timothy Chow

@ Timothy Chow: Merci, je vais essayer de mettre la main dessus.

— Anthony Labarre

@ TimothyChow: Vous devriez en faire une réponse, je pense.

— Suresh Venkat

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Le théorème de Hoffman – Singleton .

— Colin McQuillan
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Hoffman-Singleton a également été ma première pensée. Mais, je ne sais pas s'il existe des preuves non spectrales et si elles ne le sont pas parce que c'est trop difficile ou parce que personne n'a essayé. La preuve standard est assez soignée et concise, donc je ne sais pas d'emblée quelle serait la motivation pour obtenir une preuve non spectrale.

— mhum

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Que diriez-vous de ce résultat sur l'informatique quantique.

Mario Szegedy. Accélération quantique des algorithmes basés sur la chaîne de Markov. Dans FOCS'04.

Il étend les chaînes de Markov aux chaînes de Markov quantiques et montre que le temps de frappe quantique est limité par la racine carrée du temps de frappe classique. Il le fait en reliant les vecteurs singuliers de la chaîne de Markov classique aux vecteurs singuliers de la chaîne de Markov quantique. Avant cet article, il n'y avait aucune relation connue entre les marches aléatoires et quantiques. Je ne peux pas imaginer comment faire de même en utilisant des techniques non spectrales.

— Marcos Villagra
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Je pense que le théorème de l' amitié (voir aussi l'article de Huneke ) est un bon exemple même s'il existe à proprement parler des preuves du théorème de l'amitié qui évitent les valeurs propres. Les preuves qui évitent complètement les valeurs propres sont beaucoup plus compliquées que la preuve spectrale.

(Le théorème de l'amitié stipule que si dans une salle de personnes, chaque paire de personnes a exactement un ami commun, alors il y a quelqu'un qui connaît tout le monde.)

— Timothy Chow
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$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

X^{T} L_{H} X (1 - ϵ) \leq X^{T} L_{g} X \leq X^{T} L_{H} X (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Même si l'énoncé du théorème n'est sans doute pas "intrinsèquement spectral", je ne pense pas que l'on sache comment obtenir ce résultat ou un résultat similaire sans utiliser de techniques spectrales.

— Lev Reyzin
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Il est un peu discutable que l'énoncé ne soit pas intrinsèquement spectral. Dans un sens littéral, vous avez raison, mais la seule raison pour laquelle je peux penser pourquoi la forme quadratique apparaît est spectrale.

— Suresh Venkat

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F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Bien sûr, mais on peut imaginer obtenir ces sparsifiants d'une autre manière. Mais, oui, ce n'est peut-être pas le meilleur exemple ...

— Lev Reyzin