Techniques d'inversion de l'ordre des quantificateurs

Il est bien connu qu'en général, l'ordre des quantificateurs universels et existentiels ne peut être inversé. En d' autres termes, pour une logique formule générale $\phi(\cdot,\cdot)$ ,

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

D'autre part, nous savons que le côté droit est plus restrictif que le côté gauche; c'est-à-dire que .$(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$

Cette question porte sur les techniques permettant de calculer , chaque fois que cela vaut pour .$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$$\phi(\cdot,\cdot)$

La diagonalisation est l'une de ces techniques. Je vois d' abord cette utilisation de diagonalisation dans le papier relativisations du Question$\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ (voir aussi la courte note Katz ). Dans cet article, les auteurs prouvent d’abord:

Pour toute machine oracle M, à temps polynomial, déterministe, il existe un langage B tel que .$L_B \ne L(M^B)$

Ils inversent ensuite l'ordre des quantificateurs (en utilisant la diagonalisation ), pour prouver que:

Il existe un langage B tel que pour tout déterministe, poly-temps M, nous avons .$L_B \ne L(M^B)$

Cette technique est utilisée dans d'autres documents, tels que [CGH] et [AH] .

J'ai trouvé une autre technique dans la preuve du théorème 6.3 de [IR] . Il utilise une combinaison de théorie de la mesure et du principe de pigeonnier pour inverser l'ordre des quantificateurs.

Je veux savoir quelles autres techniques sont utilisées en informatique pour inverser l'ordre des quantificateurs universels et existentiels?

L'inversion des quantificateurs est une propriété importante qui se cache souvent derrière des théorèmes bien connus.

Par exemple, en analyse, la différence entre et est la différence entre une continuité ponctuelle et uniforme . Un théorème bien connu dit que chaque carte continue ponctuellement est uniformément continue, à condition que le domaine soit agréable, c'est-à-dire compact .$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

En fait, la compacité est au cœur de l'inversion du quantificateur. Considérons deux types de données et dont est ouverte et est compact (voir ci - dessous pour l' explication de ces termes), et que soit une relation semidecidable entre et . La déclaration peut être lu comme suit: chaque point en est couvert par un certain . Puisque les ensembles sont "calculables" (semi-décidable) et$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$est compact il existe un sous-recouvrement fini. Nous avons prouvé que implique que Souvent, nous pouvons réduire l’existence de la liste finie à un seul . Par exemple, si est ordonné linéairement et que est monotone dans par rapport à l'ordre, alors nous pouvons prendre comme étant le plus grand de .

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

Pour voir comment ce principe est appliqué dans un cas familier, examinons l'affirmation selon laquelle est une fonction continue. Nous conservons tant que variable libre afin de ne pas nous embrouiller au sujet d'un quantificateur universel externe: Parce que est compact et que la comparaison de vrais est semi-décidable, l'instruction est semi-décidable. Les réels positifs sont manifestes et est compact, nous pouvons donc appliquer le principe: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ Puisque est antimonotone dans le plus petit de fait déjà le travail, nous avons donc besoin d'un : Ce que nous avons est une continuité uniforme de .$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

En termes simples, un type de données est compact s'il a un quantificateur universel calculable et ouvert s'il a un quantificateur existentiel calculable. Les nombres entiers (non négatifs) sont manifestes parce que, pour semi-décider, si , avec semidecidable, nous effectuons la recherche de paralel par queue d' aronde . L’espace Cantor est compact et ouvert, comme l’expliquent Abstract Stone Duality de Paul Taylor et « Topologie synthétique des types de données et des espaces classiques » de Martin Escardo (voir également la notion connexe d’ espaces interrogeables ).$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

Appliquons le principe à l'exemple que vous avez cité. Nous considérons une langue comme une carte de mots (finis) sur un alphabet fixe en valeurs booléennes. Puisque les mots finis sont en correspondance bijective calculable avec des nombres entiers, nous pouvons considérer un langage comme une carte des nombres entiers en valeurs booléennes. Autrement dit, le type de données de toutes les langues est, jusqu’à l’isomorphisme calculable, précisément l’espace Cantor nat -> bool, ou en notation mathématique , qui est compact. Une machine de Turing à temps polynomial est décrite par son programme, qui est une chaîne finie. Ainsi, l'espace de toutes les (représentations de) machines de Turing peut être considéré comme étant ou , ce qui est ouvert.$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

Étant donné une machine de Turing et un langage , la déclaration qui dit "le langage est rejeté par " est semi-décidable car elle est décidable: il suffit d'exécuter avec l'entrée et de voir ce que Cela fait. Les conditions pour notre principe sont remplies! L’énoncé "chaque machine oracle a un langage tel que n’est pas accepté par " est écrit symboliquement par Après inversion des quantificateurs on obtient $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ Ok, nous avons donc encore beaucoup de langues. Peut-on les combiner en un seul? Je vais laisser cela comme un exercice (pour moi et pour vous!).

Vous pourriez également être intéressé par la question légèrement plus générale de la transformation de en une instruction équivalente de la forme , ou vice versa. Il y a plusieurs façons de le faire, par exemple:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• Skolem forme normale ,
• Forme normale de Herbrand ,
• L'interprétation fonctionnelle de Gödel .

Le lemme de l'ensemble dur d'Impagliazzo vous permet de changer de quantificateur dans le contexte d'hypothèses de dureté de calcul. Voici le papier d'origine . Vous pouvez trouver des tonnes d'articles et de publications connexes par Google.

Le lemme dit que s'il existe pour chaque algorithme A un grand ensemble d'entrées sur lesquelles A ne parvient pas à calculer une fonction fixe f, il existe en fait un grand ensemble d'entrées sur lequel chaque algorithme ne parvient pas à calculer f avec une probabilité proche de 1 / 2.

Ce lemme peut être prouvé en utilisant le théorème min-max ou boosting (une technique issue de la théorie de l'apprentissage par calcul), qui sont tous deux des exemples de quantificateurs à commutation.

Pour moi, la preuve "canonique" du théorème de Karp-Lipton (que ) a cette saveur. Mais ici ce n’est pas l’énoncé du théorème dans lequel les quantificateurs sont inversés, mais plutôt les "quantificateurs" dans le modèle de calcul alterné, en partant de l’hypothèse que a de petits circuits.$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

Vous voulez simuler un calcul de la forme

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

où est un prédicat à temps polynomial. Vous pouvez le faire en devinant un petit circuit pour (par exemple) la satisfiabilité, en modifiant pour qu'il se vérifie et produise une affectation satisfaisante lorsque son entrée est satisfiable. Ensuite, pour tout , créez une instance SAT équivalente à et résolvez-la. Donc, vous avez produit un calcul équivalent de la forme$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ est satisfiable selon .$C]$

L'utilisation de base de l'union liée dans la méthode probabiliste peut être interprétée comme un moyen d'inverser l'ordre des quantificateurs. Bien que cela soit déjà mentionné implicitement dans la question parce que la preuve d'Impagliazzo et de Rudich en est un exemple, je pense que cela vaut la peine de l'exprimer plus explicitement.

Supposons que X est fini et que pour chaque x ∈ X , nous savons non seulement que certains y ∈ Y satisfait φ ( x , y ) , mais aussi que de nombreux choix de y ∈ Y satisfont φ ( x , y ). Formellement, supposons que nous savons (∀ x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [¬ φ ( x , y )] <1 / | X | pour une mesure probabiliste sur Y. Alors syndicat lié nous permet de conclure Pr _{y ∈ Y} [(∃ x ∈ X ) ¬ φ ( x , y )] <1, ce qui équivaut à (∃ y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y ).

Il existe des variantes de cet argument:

1. Si X est infini, nous pouvons parfois discrétiser X en considérant une métrique appropriée sur X et son ε- net. Après avoir discrétisé X , nous pouvons utiliser l'union liée comme ci-dessus.

2. Lorsque les événements φ ( x , y ) pour différentes valeurs de x sont presque indépendants, nous pouvons utiliser le lemme local de Lovász au lieu de union liée.

J'aimerais ajouter plusieurs autres techniques. Bien que les deux premières techniques ne servent pas exactement à inverser l'ordre des quantificateurs universels et existentiels, elles ont une saveur très similaire. Par conséquent, j'ai saisi l'occasion de les décrire ici:

Moyenne du lemme: Utilisée pour démontrer et de nombreux autres théorèmes intéressants. De manière informelle , supposons que désigne l'ensemble des abonnés d'une bibliothèque, désigne l'ensemble des livres de la bibliothèque et que, pour et , la proposition est vraie si "abonné" aime le livre . " Le lemme de calcul de la moyenne dit que: si pour tout , il existe au moins 2/3 de dans tels que , alors il existe un seul$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, telle que pour au moins 2/3 des dans , la proposition est vraie. (Cela peut être facilement prouvé via reductio ad absurdum et un argument de comptage.)$s$$S$$\phi(s,b)$

Maintenant , nous , et que être une machine PPT qui décide . Supposons que le temps d'exécution de soit limité par un polynôme . Puis, pour tout , et pour au moins 2/3 des , s , il soutient que . Ici, est la machine qui utilise aléatoire et est la fonction caractéristique de . Le lemme de calcul de la moyenne est ensuite utilisé pour montrer que pour$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$, il existe un seul , tel que pour au moins 2/3 des de longueur , . Ce simple fonctionne comme un conseil pour , et donc pour .$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

Échange de lemmes: Zachos et Fürer ont introduit un nouveau quantificateur probabiliste (qui signifie à peu près "pour la plupart"). Ils ont prouvé que (en omettant les détails):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

Notez qu'il s'agit d'un théorème de logique du second ordre.

En utilisant le lemme de permutation, ils ont prouvé un certain nombre de théorèmes intéressants, tels que le théorème BPP et le théorème Babai . Je vous renvoie au document original pour plus d'informations.$MA \subseteq AM$

Un théorème similaire à théorème Karp-Lipton mentionné dans Ryan Williams publication: .$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$