Preuve du problème de la limite supérieure de la somme des racines carrées

Dans [1], Garey et al. identifier ce qui serait plus tard connu sous le nom de problème de la somme des racines carrées au cours de l'élaboration de l'exhaustivité NP du TSP euclidien.

Étant donné les entiers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ et $L$ , déterminez si $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

Ils observent qu'il est même pas évident que ce problème est dans NP car on ne sait pas ce que les chiffres minimums de précision sont requis dans le calcul des racines carrées de suffisamment comparer la somme à $L$ . Cependant, ils citent une borne supérieure la plus connue de $O(m2^n)$ où $m$ est "le nombre de chiffres dans l'expression symbolique d'origine". Malheureusement, cette limite supérieure n'est attribuée qu'à une communication personnelle de AM Odlyzko.

Quelqu'un at-il une référence appropriée à cette limite supérieure? Ou, en l'absence d'une référence publiée, une épreuve ou un croquis d'épreuve serait également utile.

Remarque: Je pense que cette limite pourrait être déduite à la suite de résultats plus généraux de Bernikel et. Al. [2] à partir d'environ 2000 sur les limites de séparation pour une plus grande classe d'expressions arithmétiques. Je suis surtout intéressé par des références plus contemporaines (ie: ce qui était connu vers 1976) et / ou des preuves spécialisées uniquement au cas de la somme des racines carrées.

Garey, Michael R., Ronald L. Graham et David S. Johnson. " Quelques problèmes géométriques NP-complets ." Actes du huitième symposium annuel de l'ACM sur la théorie de l'informatique. ACM, 1976.
Burnikel, Christoph et al. " Une séparation forte et facilement calculable à destination des expressions arithmétiques impliquant des radicaux ." Algorithmica 27.1 (2000): 87-99.

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— mhum
source

Voir aussi la réponse à cette question cstheory.stackexchange , qui dit: "Le progrès le plus remarquable vers ce problème est d'Eric Allender et de ses co-auteurs, en 2003, ils ont montré que ce problème se situe au 4ème niveau de la hiérarchie de comptage. Ftp. cs.rutgers.edu/pub/allender/slp.pdf "

— Neal Young

$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$ $\delta_i \in \{\pm 1\}$ $2^n$ $H = (max(a_i))^{n}$ $S = 0$ $TC^0$ $S \neq 0$ $0$ $S$ $a_i$ $2^n$ $S$ $\sqrt{a_i}$ $2^{10n}$ $S$

— Nikhil
source

Voté parce que la seule partie de cette longue réponse qui répond réellement à la question est la dernière ligne, et c'est une référence de 1992 pas des années 1970 ou plus tôt.

— David Eppstein

@david J'essayais juste de fournir une esquisse de preuve pour laquelle nous avons besoin d'une précision de 2 ^ n bits pour évaluer les racines carrées (@mhum l'a demandé à un moment donné). Je ne sais pas comment une telle limite a été dérivée plus tôt avant l'article que j'ai cité (bien que je soupçonne qu'elle devrait utiliser des techniques similaires).

— Nikhil

C'est peut-être juste moi, mais quand une question dit "Je sais comment le prouver mais quelqu'un peut-il me donner une référence", je trouve des réponses montrant comment le prouver est irritant. C'est comme lorsque les étudiants à un examen donnent une réponse à quelque chose de différent de ce qui a été demandé, en espérant (en vain) qu'ils obtiendront un crédit partiel pour savoir quelque chose même s'ils ne savaient pas ce que vous vouliez.

— David Eppstein

Je ne sais pas d'où vous citez, mais il y a "Est-ce que quelqu'un a une référence appropriée à cette limite supérieure? Ou, en l'absence d'une référence publiée, une preuve ou un croquis de preuve serait également utile." Quelque part dans la question

— Nikhil

Cela me semble plausiblement assez proche de ce qui aurait pu être dans la communication personnelle. Merci. (Je suppose que j'aurais pu essayer de contacter Odlyzko directement pour le savoir)

— mhum