Applications de la géométrie algébrique en théorie des types / théorie des langages de programmation

Dernièrement, je me suis intéressé à la géométrie algébrique et j'ai commencé à lire dessus. Je connais encore très peu ce domaine, mais je veux savoir s'il a un lien avec mon domaine principal, la théorie des types et les langages de programmation.

Je sais que la topologie algébrique a beaucoup d'applications en théorie des types (théorie des types homotopiques, et bien d'autres), mais qu'en est-il de la géométrie algébrique, outre que la théorie des types / théorie PL et AG sont de bons facteurs de motivation de la théorie des catégories?

À ma connaissance (qui est certainement incomplète), il y a eu relativement peu de travail à ce sujet, probablement parce qu'il nécessite d'assimiler deux corps de connaissances relativement complexes. Cependant, peu ne signifie pas inexistant. Thierry Coquand et ses collaborateurs ont écrit pas mal d'articles sur les liens entre l'algèbre commutative et la logique constructive.

• Thierry Coquand, Henri Lombardi. Une approche logique de l'algèbre abstraite .

  Cet article m'a fait une énorme impression en tant qu'étudiant diplômé - la manière confiante et libre d'utiliser des idées de la théorie de la preuve et de la théorie des modèles pour faire des mathématiques non triviales et appropriées est celle que j'admire beaucoup et à laquelle j'aspire toujours.

• Henri Lombardi et Claude Quitté ont un manuel (disponible gratuitement), Algèbre commutative: méthodes constructives .

  Comme le titre l'indique, il s'agit d'algèbre commutative plutôt que de géométrie algébrique, mais comme l'algèbre commutative fournit une grande partie de l'infrastructure de la géométrie algébrique, cela restera intéressant.

Il existe également un certain nombre de thèses très intéressantes dans le domaine:

• Thèse de doctorat d'Andres Mörtberg Formaliser les raffinements et l'algèbre constructive en théorie des types

  Une fois que vous avez une preuve constructive, vous avez un algorithme. Cette thèse cherche à rendre ces algorithmes efficaces.

• Thèse de Bassel Mannaa, Sheaf Semantics in Constructive Algebra and Type Theory

  Dans cette thèse, il prouve la justesse du théorème de Newton-Puiseux de manière constructive, ainsi que l'indépendance du principe de Markov. Il offre un bel exemple de la façon dont les méthodes sémantiques en faisceau ont des applications à la fois en géométrie et en logique.

• Thèse de doctorat d'Ingo Blechschmidt, Utilisation du langage interne des topos en géométrie algébrique,

  Cette thèse cherche à refaire bon nombre des preuves habituelles de la géométrie algébrique dans le langage interne des petits topos de Zariski associés à un schéma, donnant une sorte de "géométrie algébrique synthétique". (Il fait également de la "théorie des schémas synthétiques" en utilisant le grand topos de Zariski). Comme vous vous en doutez, puisque les topoi ne sont généralement pas booléens, les preuves doivent être faites dans un style intuitionniste.

Il convient également de souligner la référence suivante:

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk. Gerbes en géométrie et logique Gerbes en géométrie et logique: Une première introduction à la théorie des topos .

  Une grande partie de la technologie utilisée dans ce travail provient des liens entre la théorie des topos, la logique et la géométrie. Ceci est la référence standard, bien que je l'ai surtout appris via les papiers de Steve Vickers.

Ce n'est peut-être pas exactement ce que vous recherchez, mais une application de la géométrie algébrique dans les langages de programmation est l'analyse des boucles linéaires:

Une boucle linéaire est un programme très simple de la forme:

$x=s$

$x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

$s,x\in \mathbb Q^d$$A\in \mathbb Q^{d\times d}$$F$

$A$$\{A^ns: n\in \mathbb N\}$$A$

Vous pouvez jeter un oeil à l'article sur la complexité du problème de l'orbite comme un bon point de départ.