Substitution héréditaire avec une hiérarchie d'univers

J'ai lu des informations sur la substitution héréditaire pour le calcul lambda simple et pour le cadre logique avec des termes et des types distincts.

Je me demande, existe-t-il des exemples de substitution héréditaire dans un système typé de façon dépendante avec une hiérarchie d'univers? c'est-à-dire où $True : Set_0 : Set_1:Set_2$ etc.

Je me demande notamment comment mettre en place une mesure d'induction dans un tel système. La version simplement typée diminue structurellement dans le type de la variable à remplacer. Cela ne fonctionne pas avec les types dépendants, pour LF le papier que j'ai lié utilise l'effacement simplement tapé des termes, effectuant une induction sur la forme du type.

Cependant, l'effacement vers des types simples ne fonctionne pas avec une hiérarchie d'univers, car si vous avez quelque chose comme ceci:

• $f : (x : Set_1)\to x \to True$ implique que
• $f\ ((y : True) \to True \to True ): True \to True \to True$

c'est-à-dire que l'application d'une fonction a donné un type structurellement plus grand.

Je suppose que la solution a quelque chose à voir avec les index de l'univers, mais s'il existe une technique existante pour établir que l'induction est bien fondée, je préférerais la citer plutôt que de trouver quelque chose par moi-même.

Voici une référence pour le système prédicatif F. La mesure inclut en effet le multi-ensemble de niveaux d'univers dans un type. Je ne peux pas dire grand-chose à savoir si cette approche se généralise à la théorie des types dépendants prédicatifs.

Depuis novembre 2018, la façon de procéder pour les théories de type dépendant avec de grandes éliminations est une question ouverte.

Établir que la récursivité est bien fondée n'est pas trop mal; vous pouvez utiliser le théorème de Pataraia pour prouver que le point fixe que vous voulez existe. Voir Robert Harper's * Constructing Type Systems Over an Operational Semantics pour un guide pratique. (Vous pouvez également le faire via une définition inductive-récursive.)

La partie difficile est en fait de formuler la substitution héréditaire d'une manière agréable - la direction naturelle vous conduit à substituer non pas un terme, mais une substitution entière à un contexte, ce qui soulève beaucoup de questions sur le moment et la manière d'établir les propriétés des choses. comme des compositions de substitutions (héréditaires).

Si cela s'avérait impossible, je serais complètement choqué. Cependant, à l'heure actuelle, personne ne l'a fait. Si vous souhaitez y travailler, je vous suggère de prendre contact avec Andreas Abel, Dan Licata et Mike Shulman. (Ou moi, d'ailleurs.)