Théorème de Cantor en théorie des types

Le théorème de Cantor déclare que

Pour tout ensemble A, l'ensemble de tous les sous-ensembles de A a une cardinalité strictement supérieure à A lui-même.

Est-il possible d'encoder quelque chose comme ça en utilisant uniquement des types / propositions sans se référer aux ensembles ZFC? Un code ou un pseudocode pour coder cette proposition dans un langage typé de manière dépendante serait apprécié.

type-theory set-theory

— Paula Vega
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Réponse courte: oui! Vous n'avez pas besoin de beaucoup de machines pour obtenir la preuve.

Une subtilité: il semble à première vue qu'il y ait une utilisation du milieu exclu: on construit un ensemble et un nombre , et montre que soit ou ce qui conduit à une contradiction. Mais il y a un lemme, vrai dans la logique intuitionniste, qui dit: $D$ $d$ $d\in D$ $d\not\in D$

pour toutes les déclarations P, (P ⟺ \neg P) \Rightarrow ⊥

$\mbox{ for all statements } P, (P\iff \neg P) \Rightarrow \bot$

Cela suffit, avec la preuve habituelle. Notez qu'en général, la «surjection» peut avoir une nuance subtile dans la logique constructive / intuitionniste (sans choix), vous devez donc vous contenter de «juste inversible» à la place.

Une preuve très standard dans Coq (que pour une raison quelconque je n'ai pas pu trouver en ligne) pourrait se présenter comme suit:

Inductive right_invertible {A B:Type}(f : A->B):Prop :=
| inverse: forall g, (forall b:B, f (g b) = b) -> right_invertible f.


Lemma case_to_false :  forall P : Prop, (P <-> ~P) -> False.
Proof.
  intros P H; apply H.
    - apply <- H.
      intro p.
      apply H; exact p.
    - apply <- H; intro p; apply H; exact p.
Qed.


Theorem cantor :  forall f : nat -> (nat -> Prop), ~right_invertible f.
Proof.
  intros f inv.
  destruct inv.
  pose (diag := fun n => ~ (f n n)).
  apply case_to_false with (diag (g diag)).
  split.
  - intro I; unfold diag in I.
    rewrite H in I. auto.
  - intro nI.
    unfold diag. rewrite H. auto.
Qed.

Bien sûr, le «bon» cadre dans lequel penser à ces matières, qui peut être considéré comme les exigences minimales pour que cette preuve passe, est le théorème de Lawvere à point fixe qui énonce le théorème tient dans chaque catégorie fermée cartésienne (donc dans notamment dans toute théorie de type raisonnable).

Andrej Bauer écrit magnifiquement à propos de ce théorème dans l'article sur les théorèmes à virgule fixe dans la calculabilité synthétique , et je soupçonne d'avoir des choses intéressantes à ajouter à cette réponse.

— cody
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Si je comprends bien, dans votre définition de cantor, natjoue le rôle de "tout ensemble A" et nat -> Propjoue le rôle de "l'ensemble de tous les sous-ensembles de A". Quelles seraient les implications d'un remplacement nat -> Proppar nat -> bool? Je suppose que l'utilisation Propest plus appropriée dans la logique constructive, mais la logique classique et la théorie des ensembles supposent souvent un milieu exclu, donc nous devrions être en mesure de remplacer Proppar boolet toujours pouvoir prouver le théorème, non?

— Paula Vega

Oui, remplacer Prop par bool fonctionne très bien en utilisant la carte de négation. Le théorème des points fixes de Lawvere montre que vous pouvez le faire avec n'importe quel type A qui a une carte A -> A sans points fixes, donc un type à 3 éléments ou type de tous les nombres naturels fonctionne également

— Max New

@PaulaVega Max dit à peu près tout, mais je recommande de jouer avec l'exemple, par exemple en utilisant boolau lieu de Propet natet diag := fun b => negb (f b b), ou simplement en remplaçant Proppar natet en utilisant diag := fun n => (f b b) + 1.

— cody