Échantillonnage approximatif à partir de polyèdres convexes avec des ordinateurs quantiques

Les ordinateurs quantiques sont très bons pour échantillonner des distributions que nous ne savons pas échantillonner en utilisant des ordinateurs classiques. Par exemple, si f est une fonction booléenne (de à ) qui peut être calculée en temps polynomial, alors avec des ordinateurs quantiques, nous pouvons efficacement échantillonner selon la distribution décrite par l'expansion de Fourier de f. (Nous ne savons pas comment le faire avec des ordinateurs classiques.) $\{-1,1\}^n$ ${-1,1}$

Peut-on utiliser des ordinateurs quantiques pour échantillonner ou échantillonner approximativement un point aléatoire dans un polyèdre décrit par un système de n inégalités en d variables?

Passer des inégalités aux points me semble quelque peu semblable à une «transformation». De plus, je serais heureux de voir un algorithme quantique même si vous modifiez la distribution, par exemple, considérez le produit de la distribution gaussienne décrit par les hyperplans du polyèdre ou d'autres choses.

Quelques remarques: Dyer, Frieze et Kannan ont trouvé un célèbre algorithme de temps polynomial classique pour échantillonner et calculer approximativement le volume d'un polyèdre. L'algorithme est basé sur des marches aléatoires et un mélange rapide. Nous voulons donc trouver un algorithme quantique différent dans le même but. (D'accord, nous pouvons espérer qu'un algorithme quantique peut conduire à des choses dans ce contexte que nous ne savons pas faire de façon classique. Mais pour commencer, tout ce que nous voulons, c'est un algorithme différent, cela doit être possible.)

Deuxièmement, nous n'insistons même pas sur l'échantillonnage approximatif de la distribution uniforme. Nous serons heureux de goûter approximativement une autre belle distribution qui est grossièrement supportée par notre polyèdre. Il y a un argument de Santosh Vampala (et aussi de moi dans un autre contexte) menant de l'échantillonnage à l'optimisation: si vous voulez optimiser f (x) échantillon pour trouver un point y où f (x) est typique. Ajoutez la contrainte {f (x)> = f (y)} et répétez.

quantum-computing cg.comp-geom optimization

— Gil Kalai
source

Vous voulez donc un algorithme quantique qui réalise la même chose que l'algorithme classique existant, mais en utilisant une approche non triviale différente? Ou voulez-vous que l'algorithme quantique réalise quelque chose de différent? Si vous voulez produire une superposition sur des points de réseau dans le polyèdre, je pense que cela peut être réalisé par arXiv: quant-ph / 0301023.

— Aram Harrow

Oui, l'objectif le plus évident est essentiellement de donner un algorithme quantique différent qui réalise la même chose (ou même plus faible, par exemple en changeant la distribution) que l'algorithme classique existant.

— Gil Kalai

Frieze s'écrit avec un z. Le lien vers l'article est dx.doi.org/10.1145/102782.102783

— Guilherme D. da Fonseca

que diriez-vous de ce document ( arxiv.org/abs/quant-ph/0606202 ). Il semble que vous puissiez l'utiliser pour échantillonner.

— Marcos Villagra

Comme le reconnaît la publication, l'existence d'un algorithme polynomial classique pour estimer le volume d'un polytope convexe change la donne. Un algorithme quantique est beaucoup moins susceptible d'être intéressant à moins qu'il ne soit compétitif avec les algorithmes classiques. Après tout, sans ce critère, tout algorithme classique pourrait simplement être appelé à la place un algorithme quantique.

Cela dit, il y a encore de la place pour une accélération polynomiale, et le principal point de vue connu pour ce type d'accélération est une marche quantique, d'autant plus que l'accélération classique dans ce cas est basée sur une bonne marche aléatoire. (En effet, tout algorithme quantique peut être considéré comme une marche quantique, mais pour certains algorithmes, cela n'est pas nécessairement instructif.) Divers articles dans la littérature QC ont souligné que les algorithmes pour estimer le volume d'un polytope convexe utilisent des marches aléatoires, et qu'il pourrait y avoir une accélération d'une marche quantique. Il semble donc que les chercheurs connaissent cette suggestion, mais que personne n'a essayé de déterminer quelle accélération polynomiale vous pourriez obtenir pour ce problème. Vous pourriez ne rien obtenir si le meilleur algorithme classique a une sorte de spoiler,

Voici une collection d'articles qui mentionnent tous l'idée de base en passant; encore une fois, Google Scholar semble suggérer que personne n'est allé plus loin.

L'autre côté des algorithmes classiques pour estimer le volume d'un polytope convexe est la programmation linéaire. Je ne sais pas s'il y a eu des progrès pour trouver une accélération quantique pour cela. Il semble difficile d'éviter une étape de programmation linéaire afin de mettre le polytope convexe dans une position favorable pour l'échantillonnage.

— Greg Kuperberg
source

Bienvenue sur TCS overflow Greg, on a l'impression que vous avez toujours été là ...

— Gil Kalai