La loi du milieu exclu implique-t-elle l'Axiom K dans la théorie des types intensionnels de Martin-Löf?

Je me suis donc demandé si la loi du milieu exclu (LEM) impliquait le soi-disant Axiome K dans la théorie du type intensionnel de Martin-Löf. L'Axiome K déclare que En fait, j'ai essayé de prouver l'énoncé plus général que

Π_{A : T y p e} Π_{x : A} Π_{p : Id (x, x)}, Id (p, {refl}_{x})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

mais après avoir réduit

par induction d'égalité, je suis coincé dans le premier problème. J'ai aussi essayé de procéder par contradiction, mais ça ne semble pas marcher ..

Π_{A : T y p e} Π_{x, y : A} Π_{p, q : Id (x, y)}, Id (p, q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

Est-ce que cela est prouvable?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
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$K$

Votre deuxième principe est appelé UIP ou Unicité des preuves d'identité. Il est équivalent à Axiom K, voir le théorème 7.2.1 dans le livre HoTT (faites simplement défiler la page 7.2.5 d'une page vers le haut). Aucun de ces éléments ne peut être dérivé dans la théorie du type intensionnel de Martin-Löf, par un résultat célèbre de Thomas Streicher et Martin Hofmann .

— Andrej Bauer
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Je profite de l'occasion pour mentionner l'élégante preuve d'Alan Schmitt qui met clairement en évidence l'ingrédient clé: la capacité, compte tenu d'une preuve d'égalité, d'en produire une canonique.

— gallais

Cependant, il convient également de noter que, comme le souligne également le livre HoTT, il existe une forme plus faible de "LEM" qui n'implique pas K et est sans doute ce que les mathématiciens entendent vraiment par LEM, à savoir LEM restreint aux types sous-singleton.

— Mike Shulman