Le vrai hasard peut-il (vraisemblablement) être remplacé par le hasard de Kolmogorov pour RP?

Y a-t-il eu des tentatives pour montrer que le caractère aléatoire de Kolmogorov serait suffisant pour RP ? La probabilité utilisée dans l'énoncé "Si la bonne réponse est OUI, alors elle (la machine probabiliste de Turing) renvoie OUI avec probabilité ..." serait-elle toujours bien définie dans ce cas? Ou y aurait-il seulement des limites supérieures et inférieures pour cette probabilité? Ou y aurait-il seulement toujours une machine de Turing probabiliste, pour laquelle les probabilités seraient bien définies (ou au moins la borne inférieure qui devrait être supérieure à 1/2)?

La classe RP ici est relativement arbitraire, et on pourrait également poser cette question pour des notions plus faibles de (pseudo-) hasard que le hasard de Kolmogorov. Mais le caractère aléatoire de Kolmogorov semble être un bon point de départ.

Donner un sens au mot "probabilité" ferait partie d'une tentative de montrer que le caractère aléatoire de Kolmogorov fonctionne pour RP. Cependant, permettez-moi d'essayer de décrire une approche possible, de clarifier ce qu'elle pourrait signifier et pourquoi j'ai parlé des limites supérieures et inférieures:

Soit une chaîne (aléatoire de Kolmogorov). Soit une machine de Turing probabiliste donnée correspondant à un langage de RP. Exécutez avec comme source pour les bits aléatoires fois, en continuant à consommer les bits précédemment non consommés de un après l'autre. $s$ $A$ $A$ $s$ $n$ $s$

Pour , soit et . Remarquez que et sont bien définis pour une chaîne donnée, même si elle ne serait pas aléatoire. Mais on peut se demander si dans le cas oùest aléatoire de Kolmogorov, ou si $p_n^s:=\frac{\text{#YES result in first $n$ runs of $A$ on $s$}}{n}$ $p_+^s:=\limsup_{n\to\infty}p_n^s$ $p_-^s:=\liminf_{n\to\infty}p_n^s$ $p_+^s$ $p_-^s$ $s$ $p_+^s=p_-^s$ $s$ pour deux chaînes aléatoires arbitraires de Kolmogorov et . Ou s'il existe un de telle sorte que pour toute chaîne aléatoire Kolmogorov . $p_-^{s_1}=p_-^{s_2}$ $s_1$ $s_2$ $p\geq 1/2$ $p\leq p_-^s$ $s$

randomized-algorithms randomness pseudorandomness

— Thomas Klimpel
source

Je ne comprends pas la question. Que voulez-vous dire par "<concept d'aléatoire> est suffisant pour <classe de complexité>"? RP peut être dérandomisé en temps polynomial avec un oracle pour une chaîne aléatoire de Kolmogorov, si c'est ce que vous demandez.

— Emil Jeřábek

Je ne comprends pas ce que vous entendez par dire que RP fonctionnerait, et je ne comprends pas votre dernier commentaire (les machines RP s'arrêtent toujours après plusieurs étapes polynomiales, soit par définition, soit sans perte de généralité si vous utilisez un inconvénient définition).

— Emil Jeřábek

Dans la question elle-même, je ne comprends pas non plus ce que vous entendez par «probabilité» lorsque je parle de chaînes aléatoires de Kolomogorov. Contrairement aux «chaînes aléatoires» habituelles, qui sont tirées d'une distribution aléatoire, être aléatoire de Kolmogorov est une véritable propriété oui-non qu'une chaîne donnée possède ou n'a pas. Donc, si une telle chaîne fait accepter un algorithme n'est pas une variable aléatoire, et en tant que telle, il est inutile de se renseigner sur sa probabilité.

— Emil Jeřábek

s

$s$

A

$A$

s

$s$

s

$s$

p_{+}

$p_+$

p_{-}

$p_-$

Liens Wikipédia pertinents (qui ont d'autres références) pour mon commentaire précédent: Martingales constructives (voir la troisième définition) et mesure limitée aux ressources

— Andrew Morgan

Je pense que la question posée ici est à peu près " y a-t-il un sens dans lequel nous pouvons remplacer la séquence de bits aléatoires dans un algorithme par des bits dessinés de manière déterministe à partir d'une chaîne aléatoire de Kolmogorov suffisamment longue? " C'est au moins la question que j'essaierai de réponse! (La réponse courte est "Oui, mais seulement si vous amplifiez d'abord la probabilité d'erreur")

Oui...

$L$ $A$ $x$ $r\in U_{f(|x|)}$ $\{0,1\}^{f(|x|)}$ $\Pr[A(x,r)=L(x)]>1-\epsilon(x)$ $A$ $\epsilon(\cdot)$

$A$ $(x,r)$ $A(x,r)\not=L(x)$ $r$ $i$ $A$ $x.$ $x$ $A$ $i$ $b=1\iff x\in L$ $r'$ $\{0,1\}^{f(|x|)}$ $i$ $r'$ $A(x,r')\not= b$

$r$ $r$ $x$ $i$ $b$ $A$

| x | + | i | + O (1) = | x | + \log_{2} (2^{f (| x |)} ϵ (x)) + O (1) = | x | + f (| x |) - \log (1 / ϵ (x)) + O (1) .

$|x|+|i|+O(1)=|x|+\log_2(2^{f(|x|)}\epsilon(x))+O(1)=|x|+f(|x|)-\log(1/\epsilon(x))+O(1).$

$r$ $f(|x|)$ $r$

\log (1 / ϵ (x)) = | x | + ω (1),

$\log(1/\epsilon(x)) = |x|+\omega(1),$

ϵ (x) = 1 / 2^{2 | x |}

$\epsilon(x)=1/2^{2|x|}$

$r$ $A$ $A$

$A$ $A$ $A$

$RP$ $coRP$ $BPP$

... Mais seulement si on amplifie d'abord.

$A$ $\{0,1\}^*$ $1/2^n$

$x$

$r\in\{0,1\}^n$
$r=x$
J'accepte.

$r$ $x$ $A$ $x$ $r$ $x$ $A$

Une note sur la source: je ne sais pas si tout cela est nouveau, mais j'ai inclus le premier argument dans mon article pour mon examen de qualification qui sera finalement disponible en ligne après avoir fini de le réviser.

— Dylan McKay
source

M

$M$

M (x)

$M(x)$

x \in L

$x\in L$

Mike Sipser a utilisé un type d'argument de compression similaire dans son article cool sciencedirect.com/science/article/pii/0022000088900359 (notez que les graphiques d'extension dont il a besoin ont en effet été explicitement construits dl.acm.org/citation.cfm?id=273915 )

— Ryan Williams