Contradiction entre le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel et la propriété de CIC de Church-Rosser?

D'une part, le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel déclare que toute théorie formelle cohérente suffisamment forte pour exprimer des déclarations arithmétiques de base ne peut pas prouver sa propre cohérence. D'autre part, la propriété de Church-Rosser d'un système formel (réécriture) nous dit qu'il est cohérent, en ce sens que toutes les équations ne sont pas dérivables, par exemple, K I , car elles n'ont pas la même normale forme. $\neq$

Le calcul des constructions inductives (CIC) satisfait alors clairement aux deux conditions. Il est suffisamment fort pour représenter des propositions arithmétiques (en effet, le calcul seul est déjà capable de coder les chiffres de l'Église et de représenter toutes les fonctions récursives primitives). De plus, CIC possède également le confluent ou la propriété Church-Rosser. Mais: $\lambda\beta\eta$

le CIC ne devrait-il pas être en mesure de prouver sa propre cohérence par le théorème de la seconde incomplétude?

Ou cela indique simplement que le CIC ne peut pas prouver sa propre cohérence à l'intérieur du système, et que la propriété de confluence est en quelque sorte un méta-théorème? Ou peut-être que la propriété de confluence de CIC ne garantit pas sa cohérence?

J'apprécierais beaucoup si quelqu'un pouvait faire la lumière sur ces questions!

Merci!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
source

x \to y

$x \rightarrow y$

x, y \in X

$x, y \in X$

λ

$\lambda$

\neq

$\neq$

Je ne sais rien de CIC, mais la possibilité évidente serait qu'il ne prouve pas sa propre propriété Church-Rosser.

— Emil Jeřábek

Une normalisation forte serait plus proche de la cohérence pour une théorie des types non? CR implique qu'il y a des termes inégaux, mais cela n'exclut pas un habitant du vide. Une normalisation forte n'est pas prouvable en interne pour le cic, donc le théorème de Godels tient toujours

— Daniel Gratzer

L'intuition est qu'il est généralement facile de montrer qu'il n'y a pas de mauvais objet normal à l'intérieur du système. Maintenant, si nous pouvons prouver que tous les termes ont une forme normale, nous avons terminé. L'algorithme de normalisation est facile à formaliser. La partie difficile est de montrer qu'elle se termine. Si nous avons des fonctions qui se développent assez rapidement à l'intérieur du système, nous pouvons les utiliser pour prouver une limite supérieure à la fin de l'algorithme de normalisation. Je pense que l'ancien livre de Girard devrait en avoir. Les preuves et les types peuvent également. (Tout bon livre de théorie de la preuve qui traite des fonctions totales probables d'une théorie devrait l'avoir.)

— Kaveh

$\beta\eta$ $\bot$ $\lambda$

Deuxièmement, comme Emil l'a souligné, même si CIC a une propriété donnée (CR ou normalisation), il est parfaitement possible que CIC ne puisse pas lui-même prouver cette propriété. Dans ce cas, je ne vois aucune incohérence dans le fait que CIC est en mesure de prouver sa propre propriété CR, et je suppose que c'est effectivement le cas (des arguments combinatoires élémentaires suffisent généralement pour CR, et de tels arguments relèvent certainement de l'énorme logique de CIC). Cependant, CIC ne prouve certainement pas sa propre propriété de normalisation, précisément en raison du deuxième théorème d'incomplétude.

— Damiano Mazza
source

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

λ

$\lambda$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$