Nombre de raccourcis d'un graphique sans utiliser l'algorithme de Karger

Nous savons que l'algorithme de raccourci de Karger peut être utilisé pour prouver (de manière non constructive) que le nombre maximal de raccourcis possibles qu'un graphique peut avoir est .$n \choose 2$

Je me demandais si nous pouvions en quelque sorte prouver cette identité en donnant une preuve bijective (plutôt injective) de l'ensemble des raccourcis à un autre ensemble de cardinalité $n \choose 2$ . Pas de raisons spécifiques, c'est juste une curiosité. J'ai essayé de le faire moi-même mais jusqu'à présent, je n'ai pas réussi. Je ne voudrais pas que quelqu'un gaspille du temps à ce sujet et donc si la question semble inutile, je demanderais aux modérateurs d'agir en conséquence.

Meilleur -Akash

La borne $\binom{n}{2}$ , je pense, a été initialement prouvée par Dinitz, Karzanov et Lomonosov en 1976, dans "Une structure pour le système de toutes les coupes minimales d'un graphique". Vous pouvez peut-être trouver ce que vous cherchez dans ce document, mais je ne sais pas s'il est en ligne.

De manière informelle, on peut faire valoir que pour avoir le nombre maximal de coupes min, tous les nœuds d'un graphique doivent avoir le même degré.

Soit une coupure divisant un graphe en deux ensembles de nœuds et tels que . Supposons que le nombre de coupes min dans un graphe soit .$G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

Considérons un graphe connecté avec sommets dans lequel chaque sommet a un degré deux. Ce doit être le graphique du cycle et la coupe minimale est de deux bords. Il est évident que la coupe de deux bords quelconques entraînera une coupe et qu'une telle coupe est une coupe minimale. Puisqu'il y a paires distinctes d'arêtes, il y a coupes minimales.$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

Créez un nouveau graphique en supprimant un bord du graphique de cycle. La coupe minimale du nouveau graphique est d'un bord et couper n'importe quel bord suffira: il y a telles coupes qui peuvent être faites.$n-1$

Créez un nouveau graphique en ajoutant un bord au graphique du cycle. Maintenant, deux nœuds ont un degré trois et nœuds ont un degré deux. Le degré trois nœuds doivent tous les deux appartiennent à , ou les deux appartiennent à . Notez que dans le cas du graphe de cycle, pas de nœuds ont été limités à apparaître ensemble en ou . L'implication est que l'ajout d'une arête ajoute une contrainte, ce qui réduit le nombre de coupes minimales.$n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

La promotion de plus de nœuds au degré trois ajoute des contraintes supplémentaires jusqu'au point où il n'y a qu'une seule coupe minimale de degré deux.

Ce qui précède montre que le graphique de cycle est (au moins) un maximum local de .$mc$

Considérez l'ensemble des graphiques dans lesquels chaque nœud est de degré trois. La suppression d'une arête donne un graphique avec un seul min-cut de deux. L'ajout d'une arête, comme ci-dessus, produit deux nœuds qui apparaissent le plus du même côté de la coupe.

Cela suggère que les graphes dans lesquels chaque nœud est de degré sont des maxima locaux de . Le fait de noter que le graphique complet a coupes de taille suggère qu'il s'agit d'une fonction décroissante.$k$$mc$$mc=n$$n-1$

Je n'ai pas trop réfléchi à la possibilité de formaliser ce qui précède, mais cela représente une approche possible.

En outre, je pense que l'article de Bixby que Jelani Nelson mentionne dans le commentaire de sa réponse est intitulé "Le nombre minimum de bords et de sommets dans un graphique avec connectivité de bord n ​​et M n-liaisons" ( lien )