Est-il encore ouvert pour déterminer la complexité du calcul de la largeur d'arbre des graphes planaires?

Pour une constante , on peut déterminer en temps linéaire, étant donné un graphe d'entrée , si sa largeur d'arbre est . Cependant, lorsque et sont donnés en entrée, le problème est NP-difficile. ( Source ). $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

Cependant, lorsque le graphe d'entrée est planaire , beaucoup moins semble être connu sur la complexité. Le problème était apparemment ouvert en 2010, une affirmation qui est également apparue dans cette enquête en 2007 et sur la page Wikipedia pour les décompositions de branches . Inversement, le problème est déclaré NP-dur (sans preuve de référence) dans une version antérieure de l'enquête mentionnée précédemment, mais je suppose que c'est une erreur.

Est-il encore possible de déterminer la complexité du problème, étant donné et un graphe planaire , de déterminer que a une largeur d'arbre ? Si tel est le cas, cela a-t-il été affirmé dans un article récent? Des résultats partiels sont-ils connus? Si ce n'est pas le cas, qui l'a résolu? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
source

Question intéressante, bravo pour redémarrer l'enquête. Pour intégrer mes 2 cents, je crois que la source originale de la preuve de temps linéaire est Bodlaender, mais le facteur constant caché par la notation de complexité asymptotique est énorme. Peut-être une retombée / extension intéressante à votre question serait de savoir si la restriction planaire permet un facteur constant plus pratique dans ce contexte?

— Fasermaler

Je pense que c'est un "problème ancien et célèbre", donc si vous ne trouvez pas de papier, c'est probablement encore un problème ouvert. Autres "preuves": Exposé du cours Graph Algorithms, Applications and Implementation (2015), Exposé du cours Graphs & Algorithms: Advanced Topics (2014), Encyclopedia of algorithms (2008).

— Marzio De Biasi

@Sariel: Il peut être approximé dans un facteur constant (3/2) en utilisant le fait que lui et la largeur de branche sont dans une constante l'un de l'autre et la largeur de branche plane peut être calculée en temps polynomial. Il peut également être approximé dans log pour tous les graphiques utilisant Leighton – Rao; voir kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— David Eppstein

@Fasermaler la première étape de l'algorithme de Bodlaender (et des algorithmes précédents qui étaient FPT mais pas de temps linéaire) est de calculer une décomposition arborescente approximative sur laquelle on peut utiliser la programmation dynamique pour trouver la décomposition optimale. Plus l'approximation est serrée, plus la deuxième étape est rapide. Ainsi, le fait que des approximations plus strictes de la largeur d'arbre planaire puissent être trouvées en utilisant la largeur de branche semble conduire à une meilleure dépendance du paramètre (au détriment du retour au polynôme du linéaire). Mais je ne connais pas d'articles qui analysent cela attentivement.

— David Eppstein

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

Autant que je sache, l'exhaustivité NP du calcul de la largeur d'arbre d'un graphe planaire est toujours ouverte. La référence la plus récente que je connaisse est une enquête réalisée par Bodlaender en 2012 et intitulée `` Tractabilité à paramètres fixes de la largeur d'arbre et de la largeur de chemin '', qui est apparue dans le festschrift pour le 65e anniversaire de Mike Fellows. Le problème est répertorié dans la conclusion de l'enquête.

— Bart Jansen
source

Merci! (Et merci également à @MarzioDeBiasi pour avoir suggéré d'autres références.) Par simple curiosité, quelqu'un sait-il également quand le problème a été posé pour la première fois?

— a3nm