NP vs co-NP et logique du second ordre

Supposons que NP = co-NP et le polynôme délimitent la longueur de la preuve d'insatisfiabilité pour une instance 3-CNF x . Y a-t-il alors des résultats sur la forme que peut prendre une preuve d'insatisfaction pour x de longueur ≤ p ( x ) ? Autrement dit, une telle preuve devrait-elle, par exemple, utiliser toute la puissance de la logique du second ordre sur des structures infinies (je suis conscient que la proposition de prouver - qu'une formule n'est pas satisfaisante peut être exprimée en logique du second ordre sur structures finies mais des étapes intermédiaires dans la preuve pour y arriver pourraient nécessiter un raisonnement sur des structures infinies).$p(x)$$x$$x$$\leq p(x)$

Puisqu'il n'existe pas de système d'inférence efficace, complet et solide pour la logique du second ordre, serait-il possible d'utiliser un tel résultat pour prouver NP co-NP?$\neq$

S'il existe un pps optimal (pps = système de preuve propositionnelle , un pps optimal est un pps qui peut simuler p tout autre système de preuve), alors le pps EF (Extended Frege) renforcé avec des axiomes propositionnels indiquant la solidité du système de preuve propositionnelle optimal sera optimal. Plus généralement, EF + Soundness of pps P peut simuler P pour n'importe quel P. Donc EF a une sorte de généralité que vous n'avez pas besoin de changer la logique ou la structure pps sous-jacente, mais ajoutez simplement des axiomes propositionnels pour obtenir tout pps fort arbitraire.

$NP = coNP$

$\pi$$\varphi$$\varphi$

En été, il n'est pas nécessaire de sortir de la logique propositionnelle.

$NP=coNP$$NP$$coNP$