Quand la randomisation cesse-t-elle d'aider dans PSPACE

Il est connu que l'ajout d'une randomisation à erreurs bornées à PSPACE n'ajoute pas de puissance. Autrement dit, BPPSAPCE = PSPACE.

On ne sait pas si P = BPP, mais on sait que . $BPP\subseteq \Sigma_2\cap \Pi_2$

Ainsi, il est possible (bien que supposé être faux) que l'ajout de probabilité à P ajoute une puissance expressive.

Ma question est de savoir si nous connaissons (ou avons des preuves de) la frontière entre P et PSPACE où l'ajout de randomisation n'ajoute plus de puissance.

Plus précisément,

Y a-t-il des problèmes connus pour être dans (resp. ) qui ne sont pas connus pour être dans (resp. )? Et de même pour vs ? $BP\Sigma_i$ $BP\Pi_i$ $\Sigma_i$ $\Pi_i$ $BPPH$ $PH$

randomness derandomization polynomial-hierarchy

— Shaull
source

BPPH = PH. xxxxxxxxxxxxx

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek - merci, avez-vous une référence pour ce résultat?

— Shaull

Ceci n'est qu'une relativisation du théorème de Gács – Sipser – Lautemann.

— Emil Jeřábek

A M \subseteq Π_{2}^{P}

$\mathrm{AM}\subseteq\Pi^P_2$

B P Σ_{i}^{P} \subseteq Π_{i + 1}^{P}

$\mathrm{BP}\Sigma^P_i\subseteq\Pi^P_{i+1}$

i \geq 1

$i\ge1$

B P Π_{i}^{P} \subseteq Σ_{i + 1}^{P}

$\mathrm{BP}\Pi^P_i\subseteq\Sigma^P_{i+1}$

$\mathrm{PSPACE}$ $\mathrm{X}$ $\mathrm{P \subseteq X \subseteq PSPACE}$

\begin{aligned} B P \cdot Σ_{i}^{p} \subseteq Π_{i + 1}^{p} & and & B P \cdot Π_{i}^{p} \subseteq Σ_{i + 1}^{p} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{BP\cdot \Sigma_i^p \subseteq \Pi_{i+1}^p} &&\text{and}&& \mathrm{BP\cdot \Pi_i^p \subseteq \Sigma_{i+1}^p} \end{align*}$

A M \subseteq Π_{2}^{p}

$\mathrm{AM \subseteq \Pi_2^p}\,$

B P \cdot P H = P H

$\mathrm{BP \cdot PH = PH}$

P H \subseteq B P \cdot \oplus P .

$\mathrm{PH \subseteq BP\cdot\oplus P}.$

P H

$\mathrm{PH}$

P H \subseteq B P \cdot \oplus P

$\mathrm{PH \subseteq BP \cdot \oplus P}$

B P \cdot \oplus P = \oplus P

$\mathrm{BP \cdot \oplus P = \oplus P}$

P H \subseteq \oplus P

$\mathrm{PH \subseteq \oplus P}$

$\mathrm{PSPACE}$

— Niel de Beaudrap
source

Merci! Je pensais en effet davantage à la hiérarchie polynomiale qu'aux autres classes. En fait, cette question découle de l'étude des restrictions des logiques temporelles, il y a donc une sorte de hiérarchie entre elles, et les classes de comptage sont moins pertinentes.

— Shaull

Vous voudrez peut-être alors trouver une version plus pointue de votre question et réessayer. :-)

— Niel de Beaudrap

B P \cdot B P P = B P P

$\mathrm{BP\cdot BPP=BPP}$

B P \cdot C = C

$\mathrm{BP}\cdot\mathcal C=\mathcal C$

C \supseteq B P P

$\mathcal C\supseteq\mathrm{BPP}$

@Emil: bien sûr, bien qu'une plainte juste puisse être qu'il y a déjà du hasard là-bas. Cela soulève la question de savoir si (pour n'importe quelle classe, quelle que soit sa spécification), on peut dire s'il contient déjà un caractère aléatoire, mais c'est une marmite de poisson beaucoup plus compliquée.

— Niel de Beaudrap