La constante Cheeger

J'ai lu dans de nombreux articles que déterminer la constante de Cheeger d'un graphe est -hard. Cela semble être un théorème populaire, mais je n'ai jamais trouvé ni citation ni preuve pour cette affirmation. À qui dois-je donner du crédit? Dans un vieux document (Isoperimetric Numbers of Graphs, J. Comb. Theory B, 1989), Mohar ne prouve cette affirmation que "pour les graphiques à arêtes multiples". $\mathsf{NP}$

reference-request graph-theory spectral-graph-theory

— Delio M.
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Réponses:

$\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ). Je n'ai pas pu comprendre pendant un moment à quoi ils faisaient référence car il n'y a aucune mention de l'expansion des bords dans le document mentionné. J'ai communiqué avec Avi Wigderson à ce sujet. Il s'est finalement avéré que l'on peut utiliser la dureté de Max-Cut comme indiqué dans le papier de Garey et al pour montrer relativement facilement que l'expansion des bords est dure. J'oublie les détails maintenant mais ça ne devrait pas être difficile à recréer. L'article de Blum etal sur la dureté de vérifier si un graphe est un superconcentrateur n'implique pas directement la dureté de l'expansion des bords. Techniquement, ce n'est pas le même problème.

— Chandra Chekuri
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Mon papier qui utilise la dureté d'expansion des bords est celui ci-dessous onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract . Nous nous référons au papier Leighton-Rao et à celui de Garey, Johnson, Stockmeyer pour la dureté de l'expansion des bords.

— Chandra Chekuri

Merci! Donc techniquement parlant, la dureté de la détermination de la constante de Cheeger n'est pas prouvée dans la littérature?

— Delio M.

@DelioM. la référence Kaibel dans l'une des réponses de Mohammad a une preuve complète. C'est juste la réduction de Garey-Johnson-Stockmeyer de la coupe maximale non pondérée à la bissection minimale, avec une courte preuve que dans les graphiques produits par la réduction, la coupe la plus clairsemée est une bissection.

— Sasho Nikolov

Cependant, je dois avouer que je suis perdu. J'ai toujours pensé que max-cut était lié à la question de caractériser "la bipartite" d'un graphe. Comment cela peut-il aider à trouver «comment connecté» un graphique? De manière équivalente, comment la deuxième valeur propre la plus basse du laplacien sans signe peut-elle lier la deuxième valeur propre la plus basse du laplacien? Qu'une prise de limite inférieure est évidente, mais une limite supérieure?

— Delio M.

@DelioM. Max Cut est d'abord réduit à Min Bisection en ajoutant plus de

sommets et en prenant le complément du graphique résultant. Cette réduction concerne donc la proximité d'un graphique bipartite avec la connexion d'un autre graphique (lié au complément du premier).

n

$n$

— Sasho Nikolov

La preuve réelle de la dureté du calcul de la constante de Cheeger (ou expansion des bords) a été donnée par Kaibel dans un rapport technique par une réduction du problème MAX Cut (voir théorème 2). La preuve est une extension de la preuve de la dureté du problème d'équicut donnée par Garey, Johnson et Stockmeyer dans Quelques problèmes de graphes NP-complets simplifiés . $NP$ $NP$

V. Kaibel: Sur l'expansion des graphes de 0/1-polytopes. Rapport technique arXiv: math.CO/0112146, 2001

EDIT : L'argument ci-dessous est incorrect , comme l'a souligné Chekuri, et laissé à des fins éducatives.

Ce n'est pas une référence comme vous l'avez demandé mais cela explique le statut folklorique du résultat de dureté.

Voici une idée de preuve de la complétude CoNP de décider si un graphe cubique connecté est expanseur de bord et donc déterminer la constante de Cheeger est CoNP-dur. $h(G)$

Le problème de bissection minimum est complet $NP$ pour les graphes cubiques connectés. Ici, nous voulons décider si un graphe avec un entier peut être partitionné en deux parties de taille égale de sorte que le nombre d'arêtes coupées soit inférieur à . $G$ $k$ $k$

Notez que le complément de ce problème équivaut à décider si le graphe est expanseur ou non (chaque partition équilibrée de a des bords coupés supérieurs à ). $G$ $V$ $k$

PS Arora dans ce séminaire déclare qu'il est -hard de reconnaître le graphique expandeur (expansion de bord). http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— Mohammad Al-Turkistany
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Cette preuve ne fonctionne pas non plus, car la taille de la bissection minimale ne dit rien sur l'expansion des bords par elle-même. Par exemple, un graphe déconnecté sur

sommets peut avoir une bissection minimale

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Sasho Nikolov

Le graphe

est un graphe cubique connecté et pour cette classe, le problème de bissection minimale est NP-complet.

G

$G$

— Mohammad Al-Turkistany

@SashoNikolov Je n'ai jamais vu personne intéressé par l'expansion des graphiques déconnectés.

— Mohammad Al-Turkistany

Arora, pas Aurora. Je ne doute pas que décider

est coNP difficile. Mais dans deux réponses, vous n'avez donné ni référence à preuve, ni preuve. Les graphiques déconnectés ne sont que pour vous montrer que vos arguments sont faux. Votre "correctif" ne fonctionne pas non plus. Je peux facilement vous montrer un graphique cubique connecté avec une grande bissection minimale et une constante de Cheeger arbitrairement proche de zéro. Les deux problèmes sont liés mais pas de la manière triviale que vous proposez.

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

— Sasho Nikolov

@ MohammadAl-Turkistany: Prenez deux graphiques cubiques sans pont connectés qui sont des expanseurs, l'un avec 2n sommets et l'autre avec n sommets et connectez-les avec trois arêtes en ajoutant environ 3 nouveaux sommets de chaque côté via la subdivision de 3 arêtes. Maintenant, la min-bissection va être grande (

) parce que vous devez couper une bonne partie du plus grand expandeur mais l'expansion est petite car vous pouvez diviser les deux expandeurs en coupant seulement 3 bords.

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Chandra Chekuri