Pourquoi Martin-Löf avait-il besoin de créer une théorie de type intuitionniste?

J'ai lu sur la théorie des types intuitionistes (ITT) et cela a du sens. Mais ce que j'ai du mal à comprendre, c'est "pourquoi" a-t-il été créé en premier lieu?

La logique intuitive (IL) et le -calculus simplement typé (STLC) et la théorie des types en général sont antérieurs à l'existence même de Martin-Löf lui-même! Il semble que l'on puisse faire tout dans STLC ce qui est faisable dans ITT (je peux me tromper, mais au moins c'est comme ça). $\lambda$

Alors, qu'est-ce qui était "nouveau" sur l'ITT et comment a-t-il fait avancer (ou fait-il) exactement la théorie du calcul? D'après ce que je comprends, il a introduit la notion de "types dépendants", mais il semble qu'ils étaient déjà là dans STLC, en quelque sorte. Son ITT était-il une tentative d'abstraction pour comprendre ensemble les principes sous-jacents du STLC et de l'IL? Mais le STLC ne l'a-t-il pas déjà fait? Alors, pourquoi ITT a-t-il été créé en premier lieu? Quel est / était le point?

Voici un extrait de Wikipédia : Mais je ne comprends toujours pas la raison de sa création qui n'existait pas auparavant.

Le premier projet d'article de Martin-Löf sur la théorie des types remonte à 1971. Cette théorie imprédicative a généralisé le système F. de Girard. Cependant, ce système s'est révélé incohérent en raison du paradoxe de Girard découvert par Girard lors de l'étude du système U, une extension incohérente du système. Cette expérience a conduit Per Martin-Löf à développer les fondements philosophiques de la théorie des types, son explication du sens, une forme de sémantique de preuve-théorique, qui justifie la théorie des types prédicative telle que présentée dans son livre Bibliopolis de 1984 ...

Il semble, d'après l'extrait, que la raison était de développer les « fondements philosophiques de la théorie des types » - je pensais que ce fondement existait déjà (ou peut-être ai-je supposé que c'était le cas). Etait-ce la raison principale alors?

Très brièvement: le simplement tapé $\lambda$-calcul n'a pas de types dépendants. Les types dépendants ont été proposés par de Bruijn et Howard qui voulaient étendre la correspondance Curry-Howard de la logique propositionnelle au premier ordre. La principale contribution de Martin-Löf est une nouvelle analyse de l'égalité. Il existe deux façons principales de rendre compte de l'égalité dans le style de Curry-Howard.

• Utiliser la règle de Leibniz sur l' identité des indiscernables pour coder l'égalité propositionnelle. Cette approche est utilisée dans le calcul des constructions, mais elle nécessite des univers imprédicatifs qui ont été rejetés par Martin-Löf pour des raisons philosophiques.

• Une caractérisation constructive directe de l'égalité. Donner une telle caractérisation à l'aide de types d'identité pourrait être la principale nouveauté de la théorie des types intuitionniste de Martin-Löf.

Les types d'identité semblent aujourd'hui d'une simplicité trompeuse, mais ils ont recentré la compréhension de la théorie des types en partie parce qu'ils ont soulevé des questions sémantiques intrigantes telles que: les preuves d'identité sont-elles uniques? Dans un certain sens, cette question conduit à la théorie des types d'homotopie et à l'axiome d'univalence (qui est incompatible avec l'unicité des identités). Hofmann et Streicher ont montré que l'unicité des preuves d'identité n'est pas dérivable dans la théorie de type intuitionniste de Martin-Löf dans: "L'interprétation groupoïde de la théorie des types". Soit dit en passant, ce résultat montre également que l'appariement de motifs n'est pas une extension conservatrice de la théorie des types traditionnels.