C'est un fait assez bien connu que dériver une contradiction d'une inégalité (par exemple, ) dans la théorie de type Martin-Loef nécessite un univers.
La preuve est également assez simple - en l'absence d'univers, nous pouvons effacer les dépendances de tout type dépendant pour obtenir un type simple comme sa forme, et donc prouver que implique que nous pouvons prouver p → ⊥ pour un atome arbitraire p , ce qui n'est bien sûr pas possible.
Cependant, je ne trouve pas qui l'a prouvé en premier! Quelqu'un at-il une référence?
«Un nouveau paradoxe dans la théorie des types» de Coquand (94) décrit la sémantique de la vérité de la logique minimale d'ordre supérieur, et semble suggérer que cette interprétation était connue auparavant. Je semble me souvenir d'une mention d'un tel modèle même pour Russell's Type Theory mais je n'arrive pas à le trouver ...
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cody
Ce texte de Martin Hoffman confirme la référence de Jan Smith dans la réponse, et présente une présentation raisonnable de cette preuve avec une sémantique catégorique dans les exercices ioc.ee/~james/ITT9200/SyntaxAndSemanticsof%20DependentTypes.pdf
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user833970